Onde, Rápido, Empurrão

Uma história para contar aos filhos esta noite, e que explica aquilo que as fórmulas escondem

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Há poucos dias, um colega engenheiro partilhou comigo uma reflexão sobre uma pergunta aparentemente simples: quanto vale, de facto, um MWh de uma energia intermitente?

A resposta técnica é conhecida. Um MWh eólico é fisicamente igual a qualquer outro, mas não garante potência quando o sistema dela precisa. Para assegurar a potência, continua a ser necessário manter a central de reserva, e o custo dessa reserva tem de ser somado.

Quis depois explicar o mesmo raciocínio a um jovem de 16 anos. E percebi que tropeçaria logo na primeira pergunta que ele faria:

"Um MWh serve para quê?"

Foi aí que comecei a perceber que o problema não estava no MWh. Estava numa confusão muito mais funda, que não é exclusiva dos jovens: a confusão entre quanto se tem e a que ritmo se tem.

Porque é que isto lhe diz respeito

Na fatura da luz aparecem dois números que quase ninguém distingue: os kWh consumidos e a potência contratada em kVA. Um é uma quantidade; o outro é um ritmo máximo. O disjuntor dispara por causa do segundo, não do primeiro.

No debate energético compara-se o custo do MWh de cada tecnologia, e esquece-se que a rede não precisa só de energia: precisa de potência garantida no instante certo.

Na gestão de um orçamento, de uma equipa ou de uma infraestrutura acontece o mesmo: confunde-se o stock com o fluxo, o saldo com a taxa, o acumulado com o ritmo.

Esta confusão não é um problema escolar. É um problema de decisores. E resolve-se com três perguntas, que nesta história têm nome.

Esta história é sobre o seu filho. Conte-lha esta noite.

1. A viagem de volta a casa

Sais da escola e a tua mãe vem buscar-te de carro. Vão para casa, onde o teu pai está à vossa espera.

No banco de trás, ao teu lado, viajam três irmãos invisíveis que só tu consegues ver.

O Onde só quer saber uma coisa: onde estamos? Lê os números das placas: quilómetro 12, 13, 14.

O Rápido não tira os olhos do velocímetro: vamos a 90! É ele que manda no Onde: a 90, o Onde avança 90 quilómetros por hora.

O Empurrão não se vê; sente-se no corpo. Quando a tua mãe acelera, o banco puxa-te as costas. Quando trava, o cinto agarra-te. É ele que manda no Rápido.

Na autoestrada, sempre a 120, fechas os olhos… e não sentes nada. Parece que o carro está parado. Vão muito depressa, mas a velocidade não muda, e o corpo só sente o Empurrão, nunca o Rápido.

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Três irmãos, três perguntas: quanto?, a que ritmo?, está a mudar? É tudo o que vamos precisar.

2. Os três irmãos estão em todo o lado

A descoberta surpreendente é que os três irmãos não vivem só no carro. Vivem em todos os sistemas que usamos todos os dias:

Em todos, a relação é a mesma: o Onde é a soma do Rápido ao longo do tempo. Quem percebe porque é que 90 km/h durante 2 horas dão 180 km, percebe porque é que 2 kW durante 1 hora dão 2 kWh.

Um exemplo que qualquer filho pode ver ao vivo: o contador de eletricidade lá de casa tem uma luz que pisca. Cada piscadela é uma pequena dose de energia. Com o forno ligado, a luz pisca muito mais depressa: é o Rápido a aparecer à frente dos nossos olhos.

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Em cada vídeo, os três irmãos ocupam sempre o mesmo lugar e têm sempre a mesma cor: o Onde a verde, o Rápido a azul, o Empurrão a laranja. Ao terceiro vídeo, o espectador já não precisa de ler: reconhece.

3. O que se sente é sempre o Empurrão

Revendo os vídeos em conjunto, aparece um padrão que nenhum manual costuma sublinhar: os sistemas não reagem ao que têm, nem ao ritmo a que vão. Reagem à mudança.

• No carro, sente-se a aceleração, não a velocidade.
• Na rede elétrica, as turbinas a 50 Hz não sentem o consumo; sentem a variação do consumo, como no intervalo de um jogo de futebol, quando milhares de chaleiras ligam ao mesmo tempo.
• Num aspirador desligado à força, a corrente que para de repente dá uma faísca.
• Numa torneira fechada com violência, a água lançada bate e os canos fazem PUM: o golpe de aríete.
• No corpo, a falta de ar aparece no arranque da corrida, não no ritmo constante.
• No vídeo do telemóvel, aparece a rodinha a girar quando a velocidade da internet cai.

É por isso que a inércia é tão decisiva numa rede elétrica: não impede o Empurrão, mas torna-o mais suave. E é por isso que, em engenharia, as transições custam mais do que os regimes.

4. Quando o Onde começa a mandar

Até aqui, o Empurrão mandava no Rápido, e o Rápido mandava no Onde. Mas há sistemas em que acontece uma coisa nova: o Onde começa também a mandar no Rápido. A corda fecha-se em círculo, e chama-se realimentação.

Para os compreender a todos, basta um balde montado de quatro maneiras:

E para classificar qualquer sistema basta uma única pergunta:

"Se o Onde tiver o dobro, o que acontece ao Rápido?"

Não muda: Balde Sem Ralo ou Banheira. Diminui: Balde Furado. Aumenta: Bola de Neve.

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5. O balde furado: escassez e prosperidade

O terceiro balde merece uma história própria, porque esconde a lição mais importante.

No quintal lá de casa há um balde com um buraco no fundo, debaixo da torneira da horta. O teu pai abre a torneira. A água sobe… 10 centímetros… 14… e para. A torneira continua aberta, mas o nível já não sobe.

Porquê? Porque quanto mais água há no balde, com mais força ela sai pelo buraco. Chega um momento em que sai tanto quanto entra.

A escassez não é um balde vazio. É um balde que trabalha sem parar e nunca consegue encher.

O teu pai propõe dois caminhos. No primeiro, abre a torneira para o dobro: o balde enche e transborda. No segundo, mantém a torneira como estava e tapa metade do buraco: o balde enche e transborda também. E a água que transborda rega a horta à volta.

Ao levantar o balde, descobres um segundo furo, bem feito, com um tubinho para o quintal do vizinho. Quando o teu pai o tapa, o balde volta a transbordar, com a mesma torneira de sempre.

A prosperidade não é o balde cheio: é a água que sobra e chega aos outros.

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Para quem quer a matemática. Pela lei de Torricelli:

• Equilíbrio: A · dh/dt = Q − Cd · a · √(2gh)
• Nível da escassez: h* = (Q / (Cd · a))² / (2g)
• Há transbordo se, e só se: Q > Cd · a · √(2gH)

Como o nível de equilíbrio depende de (Q/a)², reduzir as perdas para metade equivale exatamente a duplicar a entrada. Com uma diferença que o vídeo mostra: o caminho da eficiência demora mais a transbordar e gera menos excedente, mas gasta metade da água. Uma política sólida combina as duas alavancas, e escolhe a ordem pelo custo de cada uma.

E fica a lição do segundo furo: antes de pedir mais água à torneira, veja primeiro quem furou o balde.

6. As equações, no fim

Só agora, depois de os três irmãos terem sido vistos, sentidos e reconhecidos em nove situações, vale a pena escrevê-los em linguagem matemática. A ordem é deliberada: primeiro o sentido, depois o símbolo.

Três regras de bolso fecham o essencial:

1. Contar os pontos. Nenhum ponto sobre o x: onde estou. Um ponto: a que ritmo. Dois pontos: está a mudar.
2. Contar os «por segundo». Cada irmão tem mais um do que o anterior: m, m/s, m/s². O mesmo vale para kWh, kW e kW/s.
3. O ∫ é um S comprido de Soma. Por isso x(t) = x₀ + ∫ ẋ dt: o Onde é a soma do Rápido. Derivar é descer um irmão; integrar é subir um irmão.

E os quatro baldes cabem numa linha cada:

Onde é que a escola ensina isto, e onde não ensina

Este é o ponto que mais me preocupa como engenheiro. Na escola portuguesa, a linguagem formal das derivadas chega tarde e chega a poucos:

A conclusão é desconfortável: uma parte significativa dos alunos termina o secundário sem nunca ter dado nome ao Rápido e ao Empurrão, apesar de os sentir todos os dias, no carro, na fatura da luz e no telemóvel.

E o problema não fica no secundário. Juristas, decisores políticos, autarcas, administradores públicos, reguladores e jornalistas lidam diariamente com taxas de variação: a inflação, os juros, a potência contratada, os prazos, os défices, o ritmo de execução de um orçamento. Muitos chegaram aí por percursos em que a Matemática foi opcional desde o 10.º ano: as faculdades de Direito, por exemplo, admitem os seus alunos com provas de Português, Filosofia ou História. Os economistas são um caso diferente, e mais subtil: estudaram derivadas, porque os cursos de Economia exigem Matemática A. Mas o curso de Ciências Socioeconómicas não inclui Física nem Química. Sabem derivar uma curva de procura; raramente alguém lhes explicou a inércia de uma rede elétrica.

Em 1989, sentei-me para fazer a Prova Geral de Acesso ao ensino superior. O tema da dissertação era «O Analfabeto do Século XXI». No mesmo ano, o Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de agosto, aprovava os novos planos curriculares; o do ensino secundário consta dos mapas n.os 4 a 7 anexos ao diploma, aplicados experimentalmente até 1993-1994 e depois generalizados. E foi nos anexos, e não no articulado, que se decidiu que a Matemática não seria comum a todos. No Mapa n.º 5, a componente de formação geral do secundário (Português, Introdução à Filosofia, Língua Estrangeira, Educação Física) não inclui Matemática. No Mapa n.º 6, a Matemática é apenas uma das disciplinas da formação específica, das quais o aluno escolhe três. A nota (d) desse mapa chega a referir-se aos «alunos com Matemática no seu currículo», admitindo, por exclusão, os que não a têm. Em 2012, o Anexo IV do Decreto-Lei n.º 139/2012 voltou a fixar a formação geral dos cursos científico-humanísticos sem Matemática (Português, Língua Estrangeira, Filosofia, Educação Física), deixando-a para a formação específica de cada curso. E a Portaria n.º 243/2012, no Anexo V, fixou o plano de Línguas e Humanidades: a única disciplina de Matemática, a Matemática Aplicada às Ciências Sociais, é uma de cinco opções bienais, e nenhuma das disciplinas anuais do 12.º ano é de Matemática. E o resultado mantém-se hoje: é possível concluir o secundário sem qualquer disciplina de Matemática. O Estado previu o analfabeto do século XXI e, logo a seguir, legislou o caminho para ele. É essa amputação silenciosa que analiso no primeiro capítulo de O Abismo do Rigor — Da Engenharia da Auditoria ao Resgate da Nação: o analfabeto do nosso tempo não é quem não sabe ler palavras, é o decisor que governa sem compreender uma taxa de variação.

É também por isso que esta história começa nos pais. O conceito não precisa de esperar pelo 11.º ano; só a escrita formal precisa.

7. Esta noite, ao jantar

Faça ao seu filho as três perguntas sobre qualquer coisa do dia dele: o telemóvel a carregar, o banho, o caminho para a escola, o mealheiro.

1. Onde: o que se acumula?
2. Rápido: a que ritmo?
3. Empurrão: o que faz mudar esse ritmo?

E, se ele já estiver no 3.º ciclo, a quarta: se o Onde tivesse o dobro, o Rápido aumentaria, diminuiria ou ficaria igual?

Faça depois o mesmo exercício para si, com três sistemas do seu trabalho: a caixa de correio eletrónico, a carteira de clientes, o orçamento de um projeto. Deixe nos comentários o sistema que escolheu e o balde em que o classificou. Os casos mais difíceis são, quase sempre, os mais reveladores.

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Não foi preciso escrever uma única derivada para chegar aqui. Uma criança não precisa de saber o que é um integral para perceber que o Onde é a soma do Rápido, que só se sente o Empurrão, e que há baldes que nunca enchem enquanto ninguém olhar para o buraco.

A matemática vem depois, como confirmação de algo que já se compreendeu. É essa a ordem certa: primeiro o sentido, depois a fórmula. É o princípio que, em A Fundação da Verticalidade: Da Engenharia da Soberania à Construção do Futuro, chamo a passagem do Know-How ao Know-Why: antes de saber como se calcula, saber porquê.

📖 Para aprofundar. A origem curricular deste problema, o «Quilómetro Zero da Negligência», e as suas consequências na energia, nas infraestruturas e na decisão pública são o tema de O Abismo do Rigor — Da Engenharia da Auditoria ao Resgate da Nação, disponível em e-book.

Gaspar do Amaral

Fontes consultadas:

• Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de agosto, no Diário da República: aprova os planos curriculares dos ensinos básico e secundário; o do secundário consta dos mapas n.os 4 a 7 anexos. Na publicação original (Diário da República, I Série, n.º 198, de 29-8-1989, pp. 3643-3644), o Mapa n.º 5 fixa a formação geral sem Matemática e o Mapa n.º 6 coloca a Matemática entre as disciplinas de escolha da formação específica.
• Portaria n.º 590/93, de 12 de junho: calendarização da experimentação, consolidação e generalização dos programas dos planos curriculares do Decreto-Lei n.º 286/89.
• Decreto-Lei n.º 139/2012, de 5 de julho (Diário da República, 1.ª série, n.º 129, pp. 3476-3491): Anexo IV, pp. 3487-3488, matriz dos cursos científico-humanísticos, com a formação geral composta por Português, Língua Estrangeira, Filosofia e Educação Física.
• Portaria n.º 243/2012, de 10 de agosto (PDF da publicação original na DGE), retificada pela Declaração de Retificação n.º 51/2012: Anexo V, plano de estudos do curso de Línguas e Humanidades.
• DGE, Curso de Línguas e Humanidades: disciplinas da formação específica, em que a Matemática Aplicada às Ciências Sociais surge como uma opção entre várias.
• Critérios de avaliação de Matemática A, 11.º ano, 2025/2026: exemplo de aplicação das Aprendizagens Essenciais, com a taxa média de variação, a taxa instantânea, a derivada num ponto e a função derivada.
• DGE, Estudo Autónomo, Matemática 11.º ano, bloco 53: tarefas oficiais sobre taxa de variação, derivada e retas tangentes.
• DGE, matriz de exame de Matemática B, 11.º ano: taxa média e instantânea de variação, significado geométrico da derivada e otimização.
• DGE, coletânea de tarefas do módulo P6 dos cursos profissionais: módulo «Taxa de Variação e Otimização», no quadro dos novos programas cuja generalização começou em 2024/2025.
• Gaspar do Amaral, O Abismo do Rigor — Da Engenharia da Auditoria ao Resgate da Nação (e-book): capítulo 1, «O Quilómetro Zero da Negligência».
• Gaspar do Amaral, A Fundação da Verticalidade: Da Engenharia da Soberania à Construção do Futuro: capítulo 6, «A Educação (A Paideia)», sobre a passagem do Know-How ao Know-Why e a Pedagogia do Espanto.

Ilustrações, quadros, vídeos e capa: © Aprecisa.com