Dez decibéis não são mais dez

A cena é imaginada, mas qualquer pessoa que já viveu num prédio a reconhecerá.

Reunião de condomínio. Na ordem de trabalhos, o bar do rés-do-chão. O proprietário, homem afável e bem preparado, traz o relatório de medição debaixo do braço e lê-o com a calma de quem tem razão: «O limite da zona é 55 decibéis à noite. Medimos 65. São só mais dez.» Do fundo da sala, alguém concorda, com a tranquilidade de quem viu o noticiário da manhã: «Pois. E o sismo de ontem também foi só de 5,3.»

Na primeira fila, a advogada que o condomínio contratou toma notas sem levantar os olhos. Ao lado, o tesoureiro, economista de formação, faz contas ao fundo de reserva numa folha de cálculo. Nenhum dos dois contesta.

A sala acena. E a resposta que a sala merece cabe numa linha: dez decibéis não são mais dez — são dez vezes.

Este artigo é essa linha desdobrada. Porque a confusão, aparentemente doméstica, atravessa três camadas da engenharia — as telecomunicações, a energia, a Terra e o céu — e termina numa pergunta que qualquer pessoa pode fazer a qualquer número: esta régua soma ou multiplica?

Em linguagem simples. Uma régua normal pergunta «quanto mais?»: mais 1, mais 10, mais 100. Uma régua logarítmica pergunta «quantas vezes mais?»: o dobro, dez vezes, cem vezes. A primeira serve para medir uma mesa; a segunda serve para comparar um café com uma casa.

I. O atalho de 1614

Ao contrário dos números imaginários, o logaritmo não nasceu com um nome pejorativo. Nasceu com um propósito prático. Em 1614, o escocês John Napier publicou em Edimburgo a primeira tabela de logaritmos, para poupar aos astrónomos e aos navegadores o trabalho de multiplicar números de muitos algarismos. A ideia era um atalho: em vez de multiplicar dois números, somavam-se os seus logaritmos e consultava-se a tabela. Em 1624, Henry Briggs pô-los em base 10, com catorze casas decimais. A palavra diz tudo: logos e arithmos, o número da razão.

A primeira linha é a definição: o logaritmo de base 10 de um número é o número de vezes que é preciso multiplicar 10 por si próprio para lá chegar. O de 1 000 é 3; o de 100 é 2; o de 1 é 0. Para números redondos, é simplesmente o número de zeros. A segunda linha é a propriedade que fez a fortuna dos logaritmos durante três séculos e meio: o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos. A régua de cálculo, que os engenheiros usaram até aos anos 70, é exatamente isso: somar comprimentos para multiplicar números.

Quem fez o 9.º ano já sabe o essencial, mesmo que nunca tenha ouvido a palavra. Sabe que 103 = 1 000, que 102 × 103 = 105 — os expoentes somam-se — e que a distância da Terra ao Sol se escreve 1,5 × 108 km, em notação científica. O logaritmo é apenas o nome do expoente: se 103 = 1 000, então log 1 000 = 3. E a regra de que «o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos» é a mesma regra dos expoentes que se aprende nessa altura, vista ao contrário.

Em linguagem simples. Pegue num número redondo e conte os zeros: 100 tem dois, 1 000 tem três, 1 000 000 tem seis. Esse número de zeros é o logaritmo. Uma escala logarítmica é uma régua em que cada traço acrescenta um zero.

A tabela de Napier deixou uma marca curiosa. Em 1881, o astrónomo Simon Newcomb reparou que as primeiras páginas das tabelas de logaritmos estavam mais gastas do que as últimas: os números do mundo real começam mais vezes por 1 do que por 9. Frank Benford confirmou-o em 1938: o primeiro algarismo é 1 em cerca de 30 % dos casos e 9 em menos de 5 %. É a lei de Benford, que os auditores fiscais usam hoje para detetar números inventados.

A Tabela 1 faz a ponte entre números, logaritmos e palavras. A terceira coluna é a que importa no dia a dia: cada unidade do logaritmo é «mais um zero», meia unidade é cerca de três vezes e três décimas são cerca do dobro. Quem decorar estas três equivalências — 1 = ×10, 0,5 ≈ ×3, 0,3 ≈ ×2 — lê de cabeça qualquer escala logarítmica.

A Figura 1 mostra a diferença entre as duas réguas com seis preços do quotidiano.

A Figura 1 marca seis preços redondos — um café a 1 €, uma refeição a 10 €, uns sapatos a 100 €, um computador a 1 000 €, um carro a 10 000 € e uma casa a 100 000 € — em duas réguas com o mesmo comprimento. Na régua normal, em cima, a casa ocupa o fim da régua e os outros cinco preços ficam espremidos junto ao zero: o café, a refeição e os sapatos são indistinguíveis. Na régua logarítmica, em baixo, cada preço fica à mesma distância do seguinte, porque cada um vale dez vezes o anterior. A régua normal mostra bem a casa e esconde o resto; a logarítmica mostra tudo, mas obriga a ler distâncias como multiplicações.

II. A régua que trazemos de fábrica

Poder-se-ia pensar que a escala logarítmica é uma abstração de matemáticos, útil mas artificial. A objeção não resiste ao corpo humano. Em 1834, o fisiologista Ernst Weber mostrou que a menor diferença que notamos entre dois pesos é uma fração constante do peso: se, com 50 gramas na mão, só notamos o acréscimo a partir de 1 grama, com 5 000 gramas só o notaremos a partir de cerca de 100. Em 1860, Gustav Fechner concluiu daí que a sensação cresce com o logaritmo do estímulo. Em 1957, Stanley Stevens corrigiu a lei para uma potência, mas o essencial manteve-se: percebemos proporções, não diferenças.

As crianças começam assim. Siegler e Opfer (2003) pediram a crianças que marcassem números numa linha de 0 a 1 000: no 2.º ano, as estimativas eram logarítmicas, com os números pequenos espaçados e os grandes amontoados; no 6.º ano, já eram lineares. Dehaene, Izard, Spelke e Pica (2008) encontraram o mesmo padrão em adultos Mundurukú, na Amazónia, com pouca ou nenhuma escolaridade. A régua linear aprende-se na escola; a logarítmica parece vir de fábrica. Varshney e Sun (2013) propuseram uma razão: num mundo em que os estímulos naturais variam por muitas ordens de grandeza, perceber em proporções minimiza o erro relativo.

A carteira faz a mesma conta. Em 1738, Daniel Bernoulli propôs que a utilidade da riqueza é logarítmica: 100 euros mudam a vida de quem tem 1 000 e quase nada a de quem tem um milhão.

A Tabela 2 reúne as obras que estabeleceram esta ideia, de Weber a Varshney, com a lei de Benford e a utilidade de Bernoulli. O ponto comum é que o ser humano compara por razão e não por diferença. A escala logarítmica não é estranha ao corpo; é estranha à escola.

Em linguagem simples. Numa sala às escuras, acender uma vela faz toda a diferença. Numa sala com dez lâmpadas acesas, a mesma vela não se nota. A vela é igual; mudou a proporção. Os olhos, os ouvidos e a carteira fazem a mesma conta.

III. A objeção que engana

Se o corpo já pensa em proporções, porque é que a sala do condomínio acenou? Porque a escola nos treinou a ler números como centímetros, e uma escala logarítmica escreve-se com números pequenos e bem comportados: 55, 65, 5,3, 8,1. O perigo não está na escala; está em lê-la como se fosse normal.

O erro está medido. Romano, Sotis, Dominioni e Guidi (2020), com 2 000 adultos americanos, obtiveram 41 % de respostas corretas a uma pergunta simples sobre um gráfico logarítmico da COVID-19, contra 84 % com o mesmo gráfico em escala normal. Menge e colegas (2018) testaram 623 ecologistas profissionais: 93 % leram corretamente um gráfico linear, mas só 56 % leram corretamente um gráfico logarítmico nos dois eixos. Heckler, Mikula e Rosenblatt (2013) descreveram dificuldades semelhantes em estudantes universitários.

E, no entanto, a escala logarítmica é muitas vezes a mais honesta. Cleveland (1985) defendeu-a para dados que atravessam várias ordens de grandeza, e o guia de visualização de dados da União Europeia recomenda-a quando a variação percentual importa mais do que o valor absoluto. As duas coisas são verdade ao mesmo tempo: é a régua mais honesta para multiplicações e a mais traiçoeira para quem não a conhece.

A Tabela 3 resume quando usar a escala logarítmica, quando a evitar e os erros de leitura mais comuns. O erro mais perigoso é o da sala do condomínio: ler distâncias como diferenças. Numa régua logarítmica, a distância mede quantas vezes, nunca quanto.

IV. Primeira camada: telecomunicações

Nas telecomunicações, o decibel não é uma curiosidade; é a língua de trabalho. Nasceu nos Laboratórios Bell, que em 1929 rebatizaram a sua «unidade de transmissão» de decibel, em homenagem a Alexander Graham Bell. A razão é a mesma de Napier: numa ligação, ganhos e perdas multiplicam-se, e em decibéis passam a somar-se.

A perda em espaço livre, que a Recomendação ITU-R P.525 calcula a partir da fórmula de Friis (1946), aumenta 6 dB sempre que a distância duplica. Uma fibra monomodo moderna perde cerca de 0,18 dB/km a 1 550 nm, abaixo do máximo de 0,3 dB/km admitido pela Recomendação ITU-T G.652. Num troço de 70 km entre dois repetidores de um cabo submarino, perdem-se cerca de 12,6 dB: chega ao repetidor seguinte apenas cerca de 5,5 % da luz. Sem repetidores, 6 000 km de fibra perderiam cerca de 1 080 dB — uma fração tão pequena que nenhum recetor do universo a detetaria. É por isso que um cabo transoceânico é uma corrente de amplificadores, e não um fio.

No outro extremo, num ponto de acesso Wi-Fi, a diferença entre −30 dBm, um sinal excelente, e −90 dBm, um sinal inutilizável, são 60 dB: um milhão de vezes menos potência, numa escala que vai de «−30» a «−90». E até a capacidade de um canal é logarítmica. Shannon (1948) mostrou que a capacidade máxima é C = B · log2(1 + S/N): com uma relação sinal-ruído de 30 dB, mil vezes, cada hertz transporta no máximo cerca de 10 bit/s, e duplicar a potência do sinal acrescenta apenas cerca de um bit por segundo e por hertz.

A Tabela 4 é a tabuada dos decibéis: as equivalências que um engenheiro de comunicações usa de cabeça e que qualquer pessoa pode aprender numa tarde. A regra de ouro é a primeira linha: +3 dB é o dobro; −3 dB é metade.

V. Segunda camada: energia e tecnologia

Na energia, a escala logarítmica serve para comparar o que não cabe na mesma régua normal. Foi por isso que a usei em «O barril de 200 quilos»: o solar, com 13 toneladas de resíduo por GWh, e o urânio, com 26, ficam separados por um fator de dois; o carvão, com 88, fica a mais do triplo do urânio; e a barra riscada de 190 fica a cerca de quinze vezes da barra de 13. Numa régua normal, o 13 e o 26 colar-se-iam ao zero e o 190 dominaria tudo. Numa régua logarítmica, cada valor fica onde a proporção o põe.

A escala logarítmica serve também para ver o que cresce ou desce por multiplicação. O número de transistores num processador passou de 2 308 em 1971 para 58,2 mil milhões em 2021: duplicou a cada dois anos, como Gordon Moore previu em 1965. O preço dos módulos solares caiu cerca de 99,6 % desde 1976, cerca de 20 % por cada duplicação da produção acumulada, a curva de aprendizagem que T. P. Wright descreveu para os aviões em 1936. As baterias chegaram a 108 $/kWh em 2025. Num gráfico normal, estas séries parecem precipícios; num gráfico logarítmico, são retas, e a inclinação da reta é a taxa de aprendizagem. Way e colegas (2022) usaram precisamente essas retas para mostrar que os modelos de energia subestimaram, sistematicamente, a descida de custo do solar.

VI. Terceira camada: a Terra e o céu

Sismos. A magnitude é um logaritmo desde Richter (1935); a escala de magnitude de momento de Hanks e Kanamori (1979) manteve o princípio. Cada unidade a mais significa uma amplitude dez vezes maior e cerca de 32 vezes mais energia, segundo o Serviço Geológico dos Estados Unidos. O sismo de magnitude 5,3 a oeste de Sines, a 26 de agosto de 2024, libertou cerca de 63 vezes mais energia do que o de magnitude 4,1 sentido na Grande Lisboa a 19 de fevereiro de 2026. O de Kamchatka, de magnitude 8,8, em julho de 2025, libertou cerca de 45 vezes mais energia do que o de Myanmar, de 7,7, em março. Quando um sismo é revisto de 8,0 para 8,8, como aconteceu com o de Kamchatka, não ficou «um pouco mais forte»: ficou cerca de dezasseis vezes mais energético.

Oceanos. O pH, definido por Sørensen em 1909, é um logaritmo negativo: cada unidade a menos significa dez vezes mais acidez. A superfície do oceano desceu de um pH de cerca de 8,2 para cerca de 8,1 desde a era pré-industrial. Uma décima parece nada; são cerca de 26 a 30 % mais acidez. Em setembro de 2025, o Instituto de Potsdam declarou ultrapassado o limite planetário da acidificação dos oceanos.

Estrelas. A magnitude estelar é um logaritmo invertido: quanto maior o número, menos brilhante a estrela. Em 1856, Norman Pogson fixou que cinco magnitudes correspondem a um fator de 100 no brilho, cerca de 2,512 por magnitude. Entre o fim de 2019 e fevereiro de 2020, Betelgeuse passou de cerca de +0,5 para +1,6: perdeu cerca de dois terços do brilho, como confirmou a NASA. Um «1,1» que é, na verdade, quase um terço.

Música. Uma oitava acima é o dobro da frequência: o lá de referência está a 440 Hz, pela norma ISO 16, e o lá seguinte a 880 Hz. Cada meio-tom multiplica a frequência por cerca de 1,06. O teclado de um piano é uma régua logarítmica: teclas igualmente espaçadas, multiplicações iguais.

A Tabela 5 reúne as escalas logarítmicas do quotidiano e mostra, para cada uma, quanto vale um passo e um caso real recente. É a tabela a guardar: quem a tiver presente lê o noticiário com outros olhos.

VII. Três casos práticos

Porque a escala, quando é mal lida, aparece no relatório de ruído, no gráfico do noticiário e no orçamento da ligação.

Caso 1 — O bar que fazia «só mais dez». O Regulamento Geral do Ruído fixa, para as zonas sensíveis, 55 dB(A) de indicador diurno-entardecer-noturno e 45 dB(A) à noite; para as zonas mistas, 65 e 55 dB(A). Os números parecem vizinhos, mas a energia sonora não: 65 dB(A) são dez vezes mais energia do que 55, e 85 dB(A) seriam mil vezes mais. A diretiva europeia sobre ruído no trabalho fixa valores de ação de 80 e 85 dB(A) e um limite de 87 dB(A): de 80 para 87 dB, a energia quintuplica. A NIOSH recomenda que, por cada 3 dB acima de 85 dB(A), o tempo de exposição se reduza a metade. O proprietário do bar não estava 18 % acima do limite; estava dez vezes acima.

A Figura 2 coloca na mesma régua os limites legais de ruído que se aplicam em Portugal: os 45 e 55 dB(A) das zonas sensíveis, os 55 e 65 dB(A) das zonas mistas e os 80, 85 e 87 dB(A) da diretiva sobre ruído no trabalho. Por baixo de cada valor está a energia sonora em relação a 55 dB(A). Os números da régua parecem próximos — 55, 65, 85 —, mas a energia não: 65 dB(A) são dez vezes mais energia do que 55, e 85 dB(A) são mil vezes mais. É o melhor exemplo de como uma escala logarítmica pode tranquilizar, sem razão, quem a lê como se fosse normal.

Caso 2 — A curva que «explode». Tudo o que cresce sempre na mesma proporção — juros, epidemias, transistores — aparece como uma reta numa escala logarítmica. A regra dos 72, divulgada pela autoridade americana dos mercados, diz que a 9 % ao ano o capital duplica em cerca de 8 anos. Em 2020, John Burn-Murdoch, do Financial Times, popularizou os gráficos logarítmicos da COVID-19 precisamente por isso: um ritmo constante é uma reta, e uma travagem é uma reta a dobrar.

A Figura 3 mostra uma série fictícia que começa em 10 e duplica de três em três dias durante 30 dias, chegando a 10 240. À esquerda, em escala normal, os primeiros vinte dias parecem não ter nada e tudo parece acontecer no fim: é a curva que «explode». À direita, em escala logarítmica, a mesma série é uma reta perfeita, e percebe-se que nada mudou no ritmo — duplicou sempre ao mesmo passo. A escala normal mostra o tamanho do problema; a logarítmica mostra o ritmo. Para decidir a tempo, o ritmo é o que conta.

Caso 3 — O estudante e o orçamento de ligação. Peça-se a um aluno que calcule a potência recebida numa ligação: um transmissor de 1 W, duas antenas com ganho de 100 e de 1 000 vezes, e uma perda de propagação de um para dez mil milhões de milhões. Pelo caminho dos números «normais», multiplica quatro números com muitos zeros e erra uma casa decimal ao segundo passo. Pelo caminho dos decibéis, escreve +30 dBm, +20 dB, +30 dB e −160 dB, e soma: −80 dBm, ou seja, dez picowatts. Uma linha. Não é um truque; é a descoberta de que a estrutura do problema — ganhos e perdas que se multiplicam — é a estrutura do logaritmo. Napier, outra vez, a poupar trabalho quatro séculos depois.

Em linguagem simples. Um nenúfar que duplica de tamanho todos os dias cobre metade do lago na véspera de o cobrir todo. Quem olha para o lago só vê o problema no último dia. Quem olha para o ritmo vê-o desde o primeiro.

Daqui sai um método de leitura em cinco passos:

1. Ver o eixo. Se as marcas forem 1, 10, 100, 1 000, a escala é logarítmica.
2. Contar os saltos. Cada salto de marca a marca é uma multiplicação por dez.
3. Ler distâncias como multiplicações. A mesma distância é sempre o mesmo número de vezes.
4. Ler retas como ritmos. Uma reta é um crescimento constante; a inclinação é a taxa.
5. Voltar aos números. Antes de concluir, converter para valores absolutos: «dez vezes mais» de quanto?

VIII. A advogada e o tesoureiro

Terminada a reunião, a advogada e o tesoureiro ficam para trás, a arrumar papéis. Ela pergunta, meio a sorrir: «Em tribunal, três decibéis a mais à noite é muito ou pouco?» Ele encolhe os ombros: «Aprendi logaritmos no 12.º ano. Já não me lembro de nada.» Ela ri-se: «Eu nem isso. Fiz Humanidades.»

Os dois estão a descrever, sem o saber, o percurso escolar português. O logaritmo propriamente dito — definição, regras, função logarítmica — é matéria de Matemática A no 12.º ano, a disciplina dos agrupamentos de Ciências e Tecnologias e de Ciências Socioeconómicas, por onde passam quase todos os futuros economistas e engenheiros. O caderno de tarefas que a Direção-Geral da Educação preparou para as turmas-piloto de 2025/2026 já o aplica ao pH e aos decibéis. No agrupamento de Línguas e Humanidades, de onde vêm muitos futuros juristas, a disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais compara crescimentos lineares, exponenciais e logarítmicos e trata de juros e inflação, mas sem o cálculo de logaritmos. Quem decide sobre ruído, sismos ou prova estatística pode, portanto, nunca ter trabalhado com uma escala logarítmica.

A Tabela 6 mostra em que ano e em que disciplina se encontra a escala logarítmica no ensino português. Não é uma crítica à escola: é um aviso a quem, anos depois, vai usar estes números para decidir.

O que o tesoureiro precisa de lembrar. O economista vive de proporções. Se os preços sobem 10 % e depois descem 10 %, não voltam ao início: 1,10 × 0,90 = 0,99, perde-se 1 %. Em logaritmos, a subida e a descida têm o mesmo tamanho, e é por isso que os economistas medem crescimentos com logaritmos: pequenas diferenças de logaritmos são, quase exatamente, variações percentuais. O fundo de reserva do condomínio, aplicado a 3 % ao ano, duplica em cerca de 72 ÷ 3 = 24 anos, pela regra dos 72. Os preços, com 3 % de inflação, também. O PIB por habitante vai, entre países, de algumas centenas a mais de cem mil dólares: só numa régua logarítmica cabem todos no mesmo gráfico sem que os mais pobres desapareçam junto ao zero. E quando um economista diz que a procura tem «elasticidade −2», está a dizer que, se o preço subir 1 %, a procura desce cerca de 2 % — uma relação entre proporções, que nos gráficos se lê como uma reta em escala logarítmica.

O que a advogada precisa de saber. O jurista decide com números que outros mediram, e muitos desses números vêm em escalas logarítmicas.

• Ruído. O Regulamento Geral do Ruído, no artigo 13.º, fixa o critério de incomodidade: a diferença entre o ruído com e sem a atividade não pode exceder 5 dB(A) de dia, 4 dB(A) ao entardecer e 3 dB(A) à noite. Três decibéis é o dobro da energia sonora. O legislador escreveu «o dobro» em decibéis. Quem lê «só mais três» como uma tolerância mínima está a ler mal a lei.
• Ambiente. Os valores-limite de descarga de águas residuais do Decreto-Lei n.º 236/98 admitem um pH entre 6,0 e 9,0. Parece um intervalo estreito. Entre pH 6 e pH 9 vai uma diferença de acidez de mil vezes.
• Juros sobre juros. O artigo 560.º do Código Civil estabelece que, para os juros vencidos produzirem juros, é necessária convenção posterior ao vencimento ou notificação judicial do devedor; o n.º 2 acrescenta que «só podem ser capitalizados os juros correspondentes ao período mínimo de um ano»; e o n.º 3 afasta estas restrições quando contrariem regras ou usos particulares do comércio. A cautela tem razão de ser: a 10 % ao ano durante dez anos, os juros simples somam 100 % do capital; os juros compostos multiplicam-no por 1,110 ≈ 2,59, ou seja, mais 159 %. A diferença entre somar e multiplicar é a diferença entre as duas contas.
• Prova pericial. As orientações da Rede Europeia de Institutos de Ciências Forenses (ENFSI, 2015) graduam a força de uma prova pela razão de verosimilhança: de 10 a 100, apoio moderado; de 100 a 1 000, moderadamente forte; de 1 000 a 10 000, forte; de 10 000 a um milhão, muito forte; acima de um milhão, extremamente forte. Cada degrau verbal é uma multiplicação por dez, ou mais. «Forte» e «muito forte» não são dois adjetivos próximos: podem estar separados por um fator de cem.
• Fraude. A lei de Benford — o algarismo 1 aparece como primeiro algarismo em cerca de 30 % dos números reais — é usada como indício em auditoria fiscal e contabilística. É um indício, não uma prova, e tem limites conhecidos: Nigrini, uma das referências da área, lembrou em 2020 que não serve para provar fraude eleitoral quando as secções de voto têm tamanhos semelhantes.
• Coimas. O Regulamento Geral sobre a Proteção de Dados, no artigo 83.º, admite coimas até 10 milhões de euros ou 2 % do volume de negócios anual a nível mundial (n.º 4) e, nas infrações mais graves, até 20 milhões de euros ou 4 % (n.º 5), consoante o montante mais elevado. Entre uma pequena empresa e uma multinacional há quatro a seis ordens de grandeza; o princípio da proporcionalidade é, no fundo, um raciocínio em proporções.

A Tabela 7 junta, para o economista e para o advogado, as situações em que a escala logarítmica aparece, o que ela pode esconder e a pergunta que convém fazer antes de decidir. É a tabela para levar para o escritório.

Em linguagem simples. Imagine duas contas-poupança. Na primeira, o banco acrescenta todos os anos 100 euros. Na segunda, multiplica o saldo por 1,1. Nos primeiros anos parecem iguais; ao fim de trinta anos, a segunda tem muito mais do dobro. A lei do anatocismo, o critério do ruído e a escala da prova pericial existem porque alguém percebeu que somar e multiplicar não são a mesma coisa.

IX. A reunião de condomínio, revisitada

Volto à sala, porque a frase do fundo merece ser levada a sério — é melhor do que parecia.

É verdade: o sismo de ontem foi «só» de 5,3. Mas repare-se no que a frase concede sem dar por isso: ninguém na sala precisou de saber o que é um logaritmo para sentir o prédio tremer, e esse sismo libertou cerca de sessenta vezes mais energia do que o de 4,1 do inverno. Os ouvidos dos vizinhos também não precisaram de tabelas de Napier para perceber que o bar fazia dez vezes mais ruído do que devia. O corpo mediu bem; quem mediu mal foi a leitura.

A escala logarítmica não pede opinião. Funciona, como os imaginários do polvo, independentemente da fé de quem a lê. O que se pede a quem decide — o administrador do condomínio, a advogada, o tesoureiro, o fiscal municipal, o jornalista, o engenheiro, o juiz — é uma pergunta só, feita antes de qualquer conclusão: esta régua soma ou multiplica?

Na próxima reunião, a advogada já não tomará notas em silêncio. Quando o proprietário do bar disser «só mais dez», ela responderá, sem levantar a voz: «Dez decibéis, senhor. Dez vezes.» E o tesoureiro acrescentará, da folha de cálculo: «E à noite, três já é o dobro.»

Uma régua normal pergunta quanto. Uma régua logarítmica pergunta quantas vezes. As boas decisões precisam das duas perguntas.

Menos centímetros. Mais proporções.

Em linguagem simples. Da próxima vez que ouvir «subiu um grau», pergunte: um grau de quê? Num termómetro, é pouco. Num sismo, é trinta e duas vezes. Na acidez, é dez vezes. A pergunta certa é sempre a mesma: esta régua soma ou multiplica?

Gaspar do Amaral

Nota metodológica

Tudo o que neste ensaio não é dado publicado, mas cálculo ou construção do autor, está identificado abaixo.

1. Sismos. Razão de energia = 101,5 × ΔM e razão de amplitude = 10ΔM (USGS). Sines 5,3 e Alenquer 4,1: ΔM = 1,2, energia 101,8 ≈ 63, amplitude 101,2 ≈ 16. Kamchatka 8,8 e Myanmar 7,7: ΔM = 1,1, energia 101,65 ≈ 45. Revisão de 8,0 para 8,8: 101,2 ≈ 16.
2. Ruído. Razão de energia = 10ΔL/10. 65 − 55 = 10 dB → 10; 85 − 55 = 30 dB → 1 000; 87 − 80 = 7 dB → 100,7 ≈ 5; +3 dB → 100,3 ≈ 2.
3. pH. Razão de acidez = 10ΔpH. 8,2 − 8,1 = 0,1 → 100,1 ≈ 1,26, ou +26 %. O valor de «cerca de 30 %» da NOAA corresponde a uma descida ligeiramente superior a 0,1.
4. Estrelas. Razão de brilho = 10−0,4 × Δm. Betelgeuse de +0,5 para +1,6: Δm = 1,1 → 10−0,44 ≈ 0,36, ou seja, perdeu cerca de 64 % do brilho. 1001/5 ≈ 2,512.
5. Música. Meio-tom = 21/12 ≈ 1,059.
6. Transistores. 58,2 × 109 ÷ 2 308 ≈ 2,5 × 107; log2 ≈ 24,6 duplicações em 50 anos, ou uma duplicação a cada 2,03 anos, valor coincidente com o publicado.
7. Condomínio. 65 ÷ 55 ≈ 1,18, ou seja, «18 % acima» se a escala fosse normal; em energia, 10(65 − 55)/10 = 10.
8. Caso 3, orçamento de ligação. 1 W = +30 dBm; ganho ×100 = +20 dB; ganho ×1 000 = +30 dB; perda ×10−16 = −160 dB. Soma: 30 + 20 + 30 − 160 = −80 dBm = 10−8 mW = 10−11 W = 10 pW. Valores escolhidos pelo autor para ilustrar o método, não de uma ligação real.
9. Capítulo VIII. 1,10 × 0,90 = 0,99. Regra dos 72: 72 ÷ 3 = 24 anos (o valor exato é ln 2 ÷ ln 1,03 ≈ 23,4). Juros simples a 10 % durante 10 anos: 10 × 10 % = 100 %; compostos: 1,110 ≈ 2,594. pH 6 a 9: 109 − 6 = 1 000. Critério de incomodidade: 103/10 ≈ 2,0; 105/10 ≈ 3,2. Os valores do PIB por habitante e o exemplo de elasticidade são ilustrativos.
10. Telecomunicações. 70 km × 0,18 dB/km = 12,6 dB → 10−1,26 ≈ 0,055, ou 5,5 %. 6 000 km × 0,18 dB/km = 1 080 dB. −30 − (−90) = 60 dB → 106. Duplicar a distância em espaço livre: 20 × log10(2) ≈ 6,02 dB. Shannon com 30 dB: log2(1 + 1 000) ≈ 9,97 bit/s/Hz; duplicar S/N acrescenta log2(2) = 1 bit/s/Hz, aproximadamente, para relações sinal-ruído elevadas.
11. Lei de Benford (Tabela 2). P(d) = log10(1 + 1/d): P(1) ≈ 30,1 %, P(9) ≈ 4,6 %.
12. Figura 1. Construída pelo autor com seis preços redondos e ilustrativos (1 € a 100 000 €), escolhidos para formarem uma progressão de razão 10. Não são preços de mercado.
13. Figura 2. Construída pelo autor com os limites do Regulamento Geral do Ruído (Decreto-Lei n.º 9/2007, art. 11.º) e da Diretiva 2003/10/CE. A energia relativa é 10(L − 55)/10.
14. Figura 3. Série fictícia construída pelo autor: N(t) = 10 × 2t/3, com t em dias, de 0 a 30. Não representa dados reais de nenhuma epidemia.
15. Capa. Desenho do autor: régua logarítmica de 1 a 10 000 com as multiplicações por dez entre marcas, uma série que cresce por multiplicação e aparece como reta, e três fórmulas do texto.

Referências anotadas

A. Ponto de partida

1. Amaral, G. (10/2026), O barril de 200 quilos, LinkedIn — a régua logarítmica dos resíduos por GWh que motivou este ensaio.
2. Amaral, G. (15/07/2026), O polvo não dispensa a química — sobre a realidade dos números imaginários, LinkedIn — o artigo de que este é a continuação, na mesma série.
3. Amaral, G. (10/2026), Duas horas ao fim da tarde, LinkedIn — ensaio sobre a adequação do sistema elétrico ibérico.

B. Literatura científica e institucional

1. Napier, J. (1614), Mirifici logarithmorum canonis descriptio, Edimburgo — a primeira tabela de logaritmos: multiplicações transformadas em somas.
2. Briggs, H. (1624), Arithmetica logarithmica, Londres (reconstrução de D. Roegel, 2011) — logaritmos de base 10 com 14 casas decimais.
3. Bernoulli, D. (1738), Specimen theoriae novae de mensura sortis; trad. ingl. Econometrica 22(1), 1954 — a utilidade da riqueza é logarítmica.
4. Newcomb, S. (1881), Note on the frequency of use of the different digits in natural numbers, American Journal of Mathematics 4(1) — as primeiras páginas das tabelas de logaritmos gastavam-se mais.
5. Benford, F. (1938), The law of anomalous numbers, Proceedings of the American Philosophical Society 78(4) — o primeiro algarismo é 1 em cerca de 30 % dos casos.
6. Weber, E. H. (1834), De pulsu, resorptione, auditu et tactu, Leipzig — a menor diferença percetível é uma fração constante do estímulo.
7. Fechner, G. T. (1860), Elemente der Psychophysik, Leipzig — a sensação cresce com o logaritmo do estímulo.
8. Stevens, S. S. (1957), On the psychophysical law, Psychological Review 64(3) — lei de potência como alternativa à lei de Fechner.
9. Dehaene, S., Izard, V., Spelke, E. e Pica, P. (2008), Log or linear?, Science 320 — adultos Mundurukú dispõem os números de forma logarítmica.
10. Siegler, R. e Opfer, J. (2003), The development of numerical estimation, Psychological Science 14(3) — das estimativas logarítmicas às lineares entre o 2.º e o 6.º ano.
11. Varshney, L. e Sun, J. (2013), Why do we perceive logarithmically?, Significance 10(1) — a perceção logarítmica minimiza o erro relativo.
12. Richter, C. (1935), An instrumental earthquake magnitude scale, BSSA 25(1) — a magnitude como logaritmo da amplitude.
13. Hanks, T. e Kanamori, H. (1979), A moment magnitude scale, Journal of Geophysical Research 84(B5) — a escala de magnitude de momento usada hoje.
14. Sørensen, S. P. L. (1909), Enzymstudien II, Biochemische Zeitschrift 21 (excerto em inglês) — definição do pH.
15. Pogson, N. (1856), Magnitudes of thirty-six of the minor planets, MNRAS 17 — fator de 2,512 por magnitude estelar.
16. Shannon, C. (1948), A mathematical theory of communication, Bell System Technical Journal 27 — informação e capacidade medidas com logaritmos.
17. Bode, H. W. (1945), Network Analysis and Feedback Amplifier Design, Van Nostrand — os diagramas de Bode em frequência logarítmica.
18. Friis, H. T. (1946), A note on a simple transmission formula, Proceedings of the IRE 34(5) — a potência recebida cai com o quadrado da distância.
19. ITU-R, Recomendação P.525-5 (11/2024), Calculation of free-space attenuation — atenuação em espaço livre em decibéis.
20. ITU-T, Recomendação G.652 (08/2024), Characteristics of a single-mode optical fibre and cable — máximo de 0,3 dB/km a 1 550 nm para G.652.D.
21. Martin, W. H. (1929), Decibel — the name for the transmission unit, Bell System Technical Journal 8 — a origem do decibel.
22. Moore, G. (1965), Cramming more components onto integrated circuits, Electronics 38(8) — a lei de Moore.
23. Wright, T. P. (1936), Factors affecting the cost of airplanes, Journal of the Aeronautical Sciences 3(4) — a curva de aprendizagem.
24. Way, R., Ives, M., Mealy, P. e Farmer, J. D. (2022), Empirically grounded technology forecasts and the energy transition, Joule 6(9) — curvas de custo em escala logarítmica para mais de 50 tecnologias.
25. Romano, A., Sotis, C., Dominioni, G. e Guidi, S. (2020), The scale of COVID-19 graphs affects understanding, attitudes, and policy preferences, Health Economics 29(11) — 41 % contra 84 % de respostas corretas.
26. Menge, D. et al. (2018), Logarithmic scales in ecological data presentation may cause misinterpretation, Nature Ecology & Evolution 2 — 93 % contra 56 % de leituras corretas.
27. Heckler, A., Mikula, B. e Rosenblatt, R. (2013), Student accuracy in reading logarithmic plots, IEEE Frontiers in Education — dificuldades de estudantes universitários.
28. Cleveland, W. e McGill, R. (1984), Graphical perception, Journal of the American Statistical Association 79 — como o olho lê gráficos.
29. Cleveland, W. (1985), The Elements of Graphing Data, Wadsworth — defesa das escalas logarítmicas para muitas ordens de grandeza.
30. data.europa.eu (2023), Logarithmic y axes, guia de visualização de dados da UE — quando usar eixos logarítmicos.
31. OMS Europa (2018), Environmental Noise Guidelines for the European Region — orientações sobre ruído ambiente.
32. Diretiva 2003/10/CE (ruído no trabalho) — valores de ação de 80 e 85 dB(A) e limite de 87 dB(A).
33. NIOSH (1998), Occupational Noise Exposure, Revised Criteria — 85 dB(A) em 8 h e regra dos 3 dB.

C. Escola, direito e economia

1. DGE (2026), Matemática A, 12.º ano — Funções exponenciais e logarítmicas, tarefas das turmas-piloto 2025/2026 — logaritmos aplicados ao pH e ao nível sonoro.
2. DGE, Programa de Matemática Aplicada às Ciências Sociais, 10.º e 11.º anos (ensino recorrente) — modelos financeiros e comparação dos crescimentos linear, exponencial, logarítmico e logístico.
3. DGE, Estudo Autónomo — Matemática 12.º ano: função exponencial e função logarítmica.
4. Decreto-Lei n.º 9/2007, Regulamento Geral do Ruído, art. 13.º, n.º 1, al. b) — critério de incomodidade: 5, 4 e 3 dB(A).
5. APA — Resultados de pontos de descarga, com o Anexo XVIII do Decreto-Lei n.º 236/98 — pH, escala de Sørensen, 6,0–9,0.
6. Código Civil, art. 560.º (Anatocismo), n.ºs 1 a 3 — convenção posterior ao vencimento ou notificação judicial; capitalização apenas de juros de, no mínimo, um ano; exceção para regras e usos do comércio.
7. Acórdão que cita o art. 560.º, n.º 1, do Código Civil.
8. ENFSI (2015), Guideline for Evaluative Reporting in Forensic Science — equivalentes verbais da razão de verosimilhança por ordens de grandeza.
9. Regulamento (UE) 2016/679 (RGPD), art. 83.º, n.ºs 4 e 5 — coimas até 10 M€ ou 2 % e até 20 M€ ou 4 % do volume de negócios anual mundial.
10. Portal Europeu da Justiça — Taxas de juro, Portugal — «só podem ser capitalizados os juros correspondentes ao período mínimo de um ano», salvo regras especiais.

D. Casos reais e notícias

1. USGS — Quanto maior é um sismo de magnitude 8,7 do que um de 5,8? — 10 vezes a amplitude e cerca de 32 vezes a energia por unidade.
2. USGS (2025) — O sismo de Kamchatka — magnitude 8,8 a 29 de julho de 2025.
3. Business Standard / AP (30/07/2025) — Os sismos mais fortes registados — magnitude revista de 8,0 para 8,8.
4. USGS (28/03/2025) — Sismo de magnitude 7,7 em Myanmar.
5. IPMA — Perguntas frequentes de sismologia — magnitude e intensidade.
6. RTP (26/08/2024) — Sismo de 5,3 sentido em várias zonas de Portugal — a oeste de Sines.
7. ECO (19/02/2026) — Sismo de magnitude 4,1 sentido na Grande Lisboa.
8. AEA (24/06/2025) — Environmental noise in Europe 2025 — cerca de 92 milhões de pessoas expostas a ruído rodoviário acima de 55 dB Lden.
9. AEA (24/06/2025) — Mais de 20 % dos europeus expostos a níveis de ruído nocivos.
10. Decreto-Lei n.º 9/2007, Regulamento Geral do Ruído (texto consolidado) — 55/45 e 65/55 dB(A).
11. EU-OSHA — Diretiva 2003/10/CE — 80, 85 e 87 dB.
12. NIOSH/CDC — Ruído — cada 3 dB a mais reduz a metade o tempo de exposição.
13. NOAA — Origem e impactos da acidificação dos oceanos — pH de 8,2 para 8,1, cerca de 30 % mais acidez.
14. PIK (24/09/2025) — Sete de nove limites planetários ultrapassados — a acidificação dos oceanos.
15. Euronews (24/09/2025) — Os oceanos ultrapassaram o limite de acidificação.
16. NASA (13/08/2020) — O escurecimento de Betelgeuse — perdeu mais de dois terços do brilho.
17. Sky & Telescope (14/02/2020) — Betelgeuse a +1,5 ou +1,6.
18. Fórum Económico Mundial (08/04/2020) — Entrevista a John Burn-Murdoch — porquê a escala logarítmica.
19. LSE (19/05/2020) — O público não percebe os gráficos logarítmicos da COVID-19.
20. ISO 16 — Afinação de referência — lá a 440 Hz.
21. LibreTexts — Intervalos musicais e temperamento — oitava e meio-tom.
22. Phillip Reeve (27/08/2025) — Números f e transmissão de luz — cada diafragma reduz a luz a metade.
23. Cisco — Valores de potência RF — 0 dBm = 1 mW; +3 dB = dobro.
24. MetaGeek — Compreender o RSSI — de −30 dBm a −90 dBm.
25. Corning (2024) — Ficha técnica SMF-28 Ultra — 0,18 dB/km a 1 550 nm.
26. Submarine Networks (18/09/2020) — Tecnologia de repetidores submarinos — repetidores a cada 60 a 70 km.
27. Investor.gov (SEC) — O que são juros compostos? — a regra dos 72.
28. Our World in Data (15/04/2024) — A lei de Moore em 50 anos — de 2 308 a 58,2 mil milhões de transistores.
29. Our World in Data — Porque ficaram as renováveis tão baratas tão depressa? — módulos solares 99,6 % mais baratos; 20 % por duplicação.
30. BloombergNEF (09/12/2025) — Baterias a 108 $/kWh.
31. VoxEU/CEPR (17/09/2018) — A lei de Benford na deteção de fraude fiscal.
32. Nigrini (04/12/2020) — Os limites da lei de Benford nas eleições.

Ilustrações e tabelas: © Aprecisa.com, com recurso a IA.

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