Diez decibelios no son diez más

La escena es imaginada, pero cualquiera que haya vivido en un bloque de pisos la reconocerá.

Junta de vecinos. En el orden del día, el bar de la planta baja. El propietario, hombre afable y bien preparado, trae el informe de medición bajo el brazo y lo lee con la calma de quien tiene razón: «El límite de la zona es de 55 decibelios por la noche. Hemos medido 65. Son solo diez más». Desde el fondo de la sala, alguien asiente, con la tranquilidad de quien ha visto el telediario de la mañana: «Claro. Y el terremoto de ayer también fue solo de 5,3».

En la primera fila, la abogada que ha contratado la comunidad toma notas sin levantar la vista. A su lado, el tesorero, economista de formación, hace cuentas del fondo de reserva en una hoja de cálculo. Ninguno de los dos replica.

La sala asiente. Y la respuesta que la sala merece cabe en una línea: diez decibelios no son diez más; son diez veces.

Este artículo es esa línea desplegada. Porque la confusión, aparentemente doméstica, atraviesa tres capas de la ingeniería —las telecomunicaciones, la energía, la Tierra y el cielo— y termina en una pregunta que cualquiera puede hacerle a cualquier número: ¿esta regla suma o multiplica?

En lenguaje sencillo. Una regla normal pregunta «¿cuánto más?»: 1 más, 10 más, 100 más. Una regla logarítmica pregunta «¿cuántas veces más?»: el doble, diez veces, cien veces. La primera sirve para medir una mesa; la segunda, para comparar un café con una casa.

I. El atajo de 1614

A diferencia de los números imaginarios, el logaritmo no nació con un nombre peyorativo. Nació con un propósito práctico. En 1614, el escocés John Napier publicó en Edimburgo la primera tabla de logaritmos, para ahorrar a los astrónomos y a los navegantes el trabajo de multiplicar números de muchas cifras. La idea era un atajo: en lugar de multiplicar dos números, se sumaban sus logaritmos y se consultaba la tabla. En 1624, Henry Briggs los pasó a base 10, con catorce decimales. La palabra lo dice todo: logos y arithmos, el número de la razón.

La primera línea es la definición: el logaritmo en base 10 de un número es el número de veces que hay que multiplicar 10 por sí mismo para llegar a él. El de 1000 es 3; el de 100 es 2; el de 1 es 0. Para números redondos, es simplemente el número de ceros. La segunda línea es la propiedad que hizo la fortuna de los logaritmos durante tres siglos y medio: el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos. La regla de cálculo, que los ingenieros usaron hasta los años setenta, es exactamente eso: sumar longitudes para multiplicar números.

Quien haya terminado 3.º de la ESO ya sabe lo esencial, aunque nunca haya oído la palabra. Sabe que 10³ = 1000, que 10² × 10³ = 10⁵ —los exponentes se suman— y que la distancia de la Tierra al Sol se escribe 1,5 × 10⁸ km, en notación científica. El logaritmo no es más que el nombre del exponente: si 10³ = 1000, entonces log 1000 = 3. Y la regla de que «el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos» es la misma regla de los exponentes que se aprende en esa etapa, vista al revés.

En lenguaje sencillo. Coja un número redondo y cuente los ceros: 100 tiene dos, 1000 tiene tres, 1 000 000 tiene seis. Ese número de ceros es el logaritmo. Una escala logarítmica es una regla en la que cada marca añade un cero.

La tabla de Napier dejó una huella curiosa. En 1881, el astrónomo Simon Newcomb se dio cuenta de que las primeras páginas de las tablas de logaritmos estaban más gastadas que las últimas: los números del mundo real empiezan más veces por 1 que por 9. Frank Benford lo confirmó en 1938: la primera cifra es 1 en torno al 30 % de los casos y 9 en menos del 5 %. Es la ley de Benford, que los inspectores de Hacienda usan hoy para detectar números inventados.

La Tabla 1 tiende un puente entre números, logaritmos y palabras. La tercera columna es la que importa en el día a día: cada unidad del logaritmo es «un cero más», media unidad es alrededor de tres veces y tres décimas son alrededor del doble. Quien memorice estas tres equivalencias —1 = ×10, 0,5 ≈ ×3, 0,3 ≈ ×2— lee de cabeza cualquier escala logarítmica.

La Figura 1 muestra la diferencia entre las dos reglas con seis precios cotidianos.

La Figura 1 marca seis precios redondos —un café a 1 €, una comida a 10 €, unos zapatos a 100 €, un ordenador a 1000 €, un coche a 10 000 € y una casa a 100 000 €— en dos reglas de la misma longitud. En la regla normal, arriba, la casa ocupa el final de la regla y los otros cinco precios quedan apretados junto al cero: el café, la comida y los zapatos no se distinguen. En la regla logarítmica, abajo, cada precio queda a la misma distancia del siguiente, porque cada uno vale diez veces el anterior. La regla normal muestra bien la casa y esconde el resto; la logarítmica lo muestra todo, pero obliga a leer distancias como multiplicaciones.

II. La regla que traemos de fábrica

Podría pensarse que la escala logarítmica es una abstracción de matemáticos, útil pero artificial. La objeción no resiste al cuerpo humano. En 1834, el fisiólogo Ernst Weber demostró que la menor diferencia que notamos entre dos pesos es una fracción constante del peso: si, con 50 gramos en la mano, solo notamos el aumento a partir de 1 gramo, con 5000 gramos solo lo notaremos a partir de unos 100. En 1860, Gustav Fechner dedujo de ello que la sensación crece con el logaritmo del estímulo. En 1957, Stanley Stevens corrigió la ley a una potencia, pero lo esencial se mantuvo: percibimos proporciones, no diferencias.

Los niños empiezan así. Siegler y Opfer (2003) pidieron a niños que marcaran números en una línea de 0 a 1000: en 2.º de primaria, las estimaciones eran logarítmicas, con los números pequeños espaciados y los grandes amontonados; en 6.º, ya eran lineales. Dehaene, Izard, Spelke y Pica (2008) encontraron el mismo patrón en adultos mundurukús, en la Amazonia, con poca o ninguna escolarización. La regla lineal se aprende en la escuela; la logarítmica parece venir de fábrica. Varshney y Sun (2013) propusieron una razón: en un mundo en el que los estímulos naturales varían en muchos órdenes de magnitud, percibir en proporciones minimiza el error relativo.

La cartera hace la misma cuenta. En 1738, Daniel Bernoulli propuso que la utilidad de la riqueza es logarítmica: 100 euros cambian la vida de quien tiene 1000 y casi nada la de quien tiene un millón.

La Tabla 2 reúne las obras que establecieron esta idea, de Weber a Varshney, con la ley de Benford y la utilidad de Bernoulli. Lo que tienen en común es que el ser humano compara por razón y no por diferencia. La escala logarítmica no le es ajena al cuerpo; le es ajena a la escuela.

En lenguaje sencillo. En una habitación a oscuras, encender una vela lo cambia todo. En una habitación con diez lámparas encendidas, la misma vela ni se nota. La vela es la misma; ha cambiado la proporción. Los ojos, los oídos y la cartera hacen la misma cuenta.

III. La objeción que engaña

Si el cuerpo ya piensa en proporciones, ¿por qué asintió la junta de vecinos? Porque la escuela nos entrenó a leer los números como centímetros, y una escala logarítmica se escribe con números pequeños y bien educados: 55, 65, 5,3, 8,1. El peligro no está en la escala; está en leerla como si fuera normal.

El error está medido. Romano, Sotis, Dominioni y Guidi (2020), con 2000 adultos estadounidenses, obtuvieron un 41 % de respuestas correctas a una pregunta sencilla sobre un gráfico logarítmico de la COVID-19, frente al 84 % con el mismo gráfico en escala normal. Menge y sus colegas (2018) pusieron a prueba a 623 ecólogos profesionales: el 93 % leyó correctamente un gráfico lineal, pero solo el 56 % leyó correctamente un gráfico logarítmico en los dos ejes. Heckler, Mikula y Rosenblatt (2013) describieron dificultades parecidas en estudiantes universitarios.

Y, sin embargo, la escala logarítmica es muchas veces la más honrada. Cleveland (1985) la defendió para datos que abarcan varios órdenes de magnitud, y la guía de visualización de datos de la Unión Europea la recomienda cuando la variación porcentual importa más que el valor absoluto. Las dos cosas son ciertas a la vez: es la regla más honrada para las multiplicaciones y la más traicionera para quien no la conoce.

La Tabla 3 resume cuándo usar la escala logarítmica, cuándo evitarla y los errores de lectura más comunes. El error más peligroso es el de la junta de vecinos: leer distancias como diferencias. En una regla logarítmica, la distancia mide cuántas veces, nunca cuánto.

IV. Primera capa: telecomunicaciones

En las telecomunicaciones, el decibelio no es una curiosidad; es la lengua de trabajo. Nació en los Laboratorios Bell, que en 1929 rebautizaron su «unidad de transmisión» como decibelio, en homenaje a Alexander Graham Bell. La razón es la misma que la de Napier: en un enlace, las ganancias y las pérdidas se multiplican, y en decibelios pasan a sumarse.

La pérdida en el espacio libre, que la Recomendación UIT-R P.525 calcula a partir de la fórmula de Friis (1946), aumenta 6 dB cada vez que la distancia se duplica. Una fibra monomodo moderna pierde unos 0,18 dB/km a 1550 nm, por debajo del máximo de 0,3 dB/km que admite la Recomendación UIT-T G.652. En un tramo de 70 km entre dos repetidores de un cable submarino se pierden unos 12,6 dB: al repetidor siguiente solo llega alrededor del 5,5 % de la luz. Sin repetidores, 6000 km de fibra perderían unos 1080 dB, una fracción tan pequeña que ningún receptor del universo la detectaría. Por eso un cable transoceánico es una cadena de amplificadores y no un hilo.

En el otro extremo, en un punto de acceso wifi, la diferencia entre −30 dBm, una señal excelente, y −90 dBm, una señal inservible, son 60 dB: un millón de veces menos potencia, en una escala que va de «−30» a «−90». E incluso la capacidad de un canal es logarítmica. Shannon (1948) demostró que la capacidad máxima es C = B · log₂(1 + S/N): con una relación señal/ruido de 30 dB, mil veces, cada hercio transporta como máximo unos 10 bit/s, y duplicar la potencia de la señal solo añade alrededor de un bit por segundo y por hercio.

La Tabla 4 es la tabla de multiplicar de los decibelios: las equivalencias que un ingeniero de comunicaciones usa de cabeza y que cualquiera puede aprender en una tarde. La regla de oro es la primera línea: +3 dB es el doble; −3 dB es la mitad.

V. Segunda capa: energía y tecnología

En la energía, la escala logarítmica sirve para comparar lo que no cabe en la misma regla normal. Por eso la usé en «O barril de 200 quilos» (El barril de 200 kilos): la solar, con 13 toneladas de residuo por GWh, y el uranio, con 26, quedan separados por un factor de dos; el carbón, con 88, queda a más del triple del uranio; y la barra rayada de 190 queda a unas quince veces la barra de 13. En una regla normal, el 13 y el 26 se pegarían al cero y el 190 lo dominaría todo. En una regla logarítmica, cada valor queda donde lo pone la proporción.

La escala logarítmica sirve también para ver lo que crece o baja por multiplicación. El número de transistores de un procesador pasó de 2308 en 1971 a 58 200 millones en 2021: se duplicó cada dos años, como predijo Gordon Moore en 1965. El precio de los módulos solares ha caído alrededor de un 99,6 % desde 1976, en torno a un 20 % por cada duplicación de la producción acumulada, la curva de aprendizaje que T. P. Wright describió para los aviones en 1936. Las baterías llegaron a 108 $/kWh en 2025. En un gráfico normal, estas series parecen precipicios; en un gráfico logarítmico, son rectas, y la pendiente de la recta es la tasa de aprendizaje. Way y sus colegas (2022) usaron precisamente esas rectas para demostrar que los modelos energéticos subestimaron, sistemáticamente, el abaratamiento de la solar.

VI. Tercera capa: la Tierra y el cielo

Terremotos. La magnitud es un logaritmo desde Richter (1935); la escala de magnitud de momento de Hanks y Kanamori (1979) mantuvo el principio. Cada unidad de más significa una amplitud diez veces mayor y unas 32 veces más energía, según el Servicio Geológico de los Estados Unidos. El terremoto de magnitud 5,3 al oeste de Sines, el 26 de agosto de 2024, liberó unas 63 veces más energía que el de magnitud 4,1 sentido en la Gran Lisboa el 19 de febrero de 2026. El de Kamchatka, de magnitud 8,8, en julio de 2025, liberó unas 45 veces más energía que el de Myanmar, de 7,7, en marzo. Cuando un terremoto se revisa de 8,0 a 8,8, como ocurrió con el de Kamchatka, no se ha vuelto «un poco más fuerte»: se ha vuelto unas dieciséis veces más energético.

Océanos. El pH, definido por Sørensen en 1909, es un logaritmo negativo: cada unidad de menos significa diez veces más acidez. La superficie del océano ha bajado de un pH de alrededor de 8,2 a alrededor de 8,1 desde la era preindustrial. Una décima parece nada; es entre un 26 y un 30 % más de acidez. En septiembre de 2025, el Instituto de Potsdam declaró rebasado el límite planetario de la acidificación de los océanos.

Estrellas. La magnitud estelar es un logaritmo invertido: cuanto mayor es el número, menos brilla la estrella. En 1856, Norman Pogson fijó que cinco magnitudes corresponden a un factor de 100 en el brillo, unos 2,512 por magnitud. Entre finales de 2019 y febrero de 2020, Betelgeuse pasó de alrededor de +0,5 a +1,6: perdió cerca de dos tercios de su brillo, como confirmó la NASA. Un «1,1» que es, en realidad, casi un tercio.

Música. Una octava más arriba es el doble de frecuencia: el la de referencia está a 440 Hz, según la norma ISO 16, y el la siguiente a 880 Hz. Cada semitono multiplica la frecuencia por alrededor de 1,06. El teclado de un piano es una regla logarítmica: teclas igualmente espaciadas, multiplicaciones iguales.

La Tabla 5 reúne las escalas logarítmicas cotidianas y muestra, para cada una, lo que vale un paso y un caso real reciente. Es la tabla que hay que guardar: quien la tenga presente verá el telediario con otros ojos.

VII. Tres casos prácticos

Porque la escala, cuando se lee mal, aparece en el informe de ruido, en el gráfico del telediario y en el balance del enlace.

Caso 1 — El bar que hacía «solo diez más». El Regulamento Geral do Ruído (reglamento general del ruido portugués) fija, para las zonas sensibles, 55 dB(A) de indicador día-tarde-noche y 45 dB(A) por la noche; para las zonas mixtas, 65 y 55 dB(A). Los números parecen vecinos, pero la energía sonora no: 65 dB(A) son diez veces más energía que 55, y 85 dB(A) serían mil veces más. La directiva europea sobre el ruido en el trabajo fija valores de acción de 80 y 85 dB(A) y un límite de 87 dB(A): de 80 a 87 dB, la energía se quintuplica. El NIOSH recomienda que, por cada 3 dB por encima de 85 dB(A), el tiempo de exposición se reduzca a la mitad. El propietario del bar no estaba un 18 % por encima del límite; estaba diez veces por encima.

La Figura 2 coloca en la misma regla los límites legales de ruido que se aplican en Portugal: los 45 y 55 dB(A) de las zonas sensibles, los 55 y 65 dB(A) de las zonas mixtas y los 80, 85 y 87 dB(A) de la directiva sobre el ruido en el trabajo. Debajo de cada valor está la energía sonora respecto a 55 dB(A). Los números de la regla parecen cercanos —55, 65, 85—, pero la energía no: 65 dB(A) son diez veces más energía que 55, y 85 dB(A) son mil veces más. Es el mejor ejemplo de cómo una escala logarítmica puede tranquilizar, sin motivo, a quien la lee como si fuera normal.

Caso 2 — La curva que «explota». Todo lo que crece siempre en la misma proporción —intereses, epidemias, transistores— aparece como una recta en una escala logarítmica. La regla del 72, divulgada por el regulador estadounidense de los mercados, dice que al 9 % anual el capital se duplica en unos 8 años. En 2020, John Burn-Murdoch, del Financial Times, popularizó los gráficos logarítmicos de la COVID-19 precisamente por eso: un ritmo constante es una recta, y un frenazo es una recta que se dobla.

La Figura 3 muestra una serie ficticia que empieza en 10 y se duplica cada tres días durante 30 días, hasta llegar a 10 240. A la izquierda, en escala normal, los primeros veinte días parecen no tener nada y todo parece ocurrir al final: es la curva que «explota». A la derecha, en escala logarítmica, la misma serie es una recta perfecta, y se ve que nada ha cambiado en el ritmo: se ha duplicado siempre al mismo paso. La escala normal muestra el tamaño del problema; la logarítmica muestra el ritmo. Para decidir a tiempo, lo que cuenta es el ritmo.

Caso 3 — El estudiante y el balance del enlace. Pídase a un alumno que calcule la potencia recibida en un enlace: un transmisor de 1 W, dos antenas con ganancias de 100 y de 1000 veces, y una pérdida de propagación de uno entre diez mil billones (10¹⁶). Por el camino de los números «normales», multiplica cuatro números con muchos ceros y se equivoca de un decimal en el segundo paso. Por el camino de los decibelios, escribe +30 dBm, +20 dB, +30 dB y −160 dB, y suma: −80 dBm, es decir, diez picovatios. Una línea. No es un truco; es el descubrimiento de que la estructura del problema —ganancias y pérdidas que se multiplican— es la estructura del logaritmo. Napier, otra vez, ahorrando trabajo cuatro siglos después.

En lenguaje sencillo. Un nenúfar que duplica su tamaño cada día cubre la mitad del estanque la víspera de cubrirlo entero. Quien mira el estanque solo ve el problema el último día. Quien mira el ritmo lo ve desde el primero.

De aquí sale un método de lectura en cinco pasos:

• 1. Mirar el eje. Si las marcas son 1, 10, 100, 1000, la escala es logarítmica.
• 2. Contar los saltos. Cada salto de marca a marca es una multiplicación por diez.
• 3. Leer las distancias como multiplicaciones. La misma distancia es siempre el mismo número de veces.
• 4. Leer las rectas como ritmos. Una recta es un crecimiento constante; la pendiente es la tasa.
• 5. Volver a los números. Antes de concluir, convertir a valores absolutos: «diez veces más» ¿de cuánto?

VIII. La abogada y el tesorero

Terminada la junta, la abogada y el tesorero se quedan rezagados, ordenando papeles. Ella pregunta, medio sonriendo: «En un juicio, tres decibelios más por la noche, ¿es mucho o poco?». Él se encoge de hombros: «Estudié logaritmos en segundo de bachillerato. Ya no me acuerdo de nada». Ella se ríe: «Yo ni eso. Hice Humanidades».

Los dos están describiendo, sin saberlo, el itinerario escolar portugués. El logaritmo propiamente dicho —definición, reglas, función logarítmica— es materia de Matemática A en el 12.º curso (el último de la secundaria portuguesa), la asignatura de los itinerarios de Ciencias y Tecnologías y de Ciencias Socioeconómicas, por donde pasan casi todos los futuros economistas e ingenieros. El cuaderno de tareas que la Direção-Geral da Educação (Dirección General de Educación de Portugal) preparó para los grupos piloto de 2025/2026 ya lo aplica al pH y a los decibelios. En el itinerario de Lenguas y Humanidades, de donde salen muchos futuros juristas, la asignatura de Matemática Aplicada às Ciências Sociais (Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales) compara crecimientos lineales, exponenciales y logarítmicos y trata de intereses e inflación, pero sin el cálculo de logaritmos. Quien decide sobre ruido, terremotos o prueba estadística puede, por tanto, no haber trabajado nunca con una escala logarítmica.

La Tabla 6 muestra en qué curso y en qué asignatura aparece la escala logarítmica en la enseñanza portuguesa. No es una crítica a la escuela: es un aviso a quien, años después, va a usar estos números para decidir.

Lo que el tesorero necesita recordar. El economista vive de proporciones. Si los precios suben un 10 % y después bajan un 10 %, no vuelven al principio: 1,10 × 0,90 = 0,99, se pierde un 1 %. En logaritmos, la subida y la bajada tienen el mismo tamaño, y por eso los economistas miden los crecimientos con logaritmos: las pequeñas diferencias de logaritmos son, casi exactamente, variaciones porcentuales. El fondo de reserva de la comunidad, colocado al 3 % anual, se duplica en unos 72 ÷ 3 = 24 años, por la regla del 72. Los precios, con un 3 % de inflación, también. El PIB per cápita va, entre países, de unos cientos a más de cien mil dólares: solo en una regla logarítmica caben todos en el mismo gráfico sin que los más pobres desaparezcan junto al cero. Y cuando un economista dice que la demanda tiene «elasticidad −2», está diciendo que, si el precio sube un 1 %, la demanda baja alrededor de un 2 %: una relación entre proporciones, que en los gráficos se lee como una recta en escala logarítmica.

Lo que la abogada necesita saber. El jurista decide con números que han medido otros, y muchos de esos números vienen en escalas logarítmicas.

• Ruido. El Regulamento Geral do Ruído, en su artículo 13, fija el criterio de molestia: la diferencia entre el ruido con y sin la actividad no puede superar 5 dB(A) de día, 4 dB(A) por la tarde y 3 dB(A) por la noche. Tres decibelios son el doble de energía sonora. El legislador escribió «el doble» en decibelios. Quien lee «solo tres más» como una tolerancia mínima está leyendo mal la ley.
• Medio ambiente. Los valores límite de vertido de aguas residuales del Decreto-Lei n.º 236/98 (decreto ley portugués n.º 236/98) admiten un pH entre 6,0 y 9,0. Parece un intervalo estrecho. Entre pH 6 y pH 9 hay una diferencia de acidez de mil veces.
• Intereses sobre intereses. El artículo 560 del Código Civil portugués establece que, para que los intereses vencidos produzcan intereses, hace falta un convenio posterior al vencimiento o la notificación judicial al deudor; el apartado 2 añade que «solo pueden capitalizarse los intereses correspondientes a un periodo mínimo de un año»; y el apartado 3 aparta estas restricciones cuando contradigan reglas o usos particulares del comercio. La cautela tiene su razón de ser: al 10 % anual durante diez años, el interés simple suma el 100 % del capital; el compuesto lo multiplica por 1,1¹⁰ ≈ 2,59, es decir, un 159 % más. La diferencia entre sumar y multiplicar es la diferencia entre las dos cuentas.
• Prueba pericial. Las directrices de la Red Europea de Institutos de Ciencias Forenses (ENFSI, 2015) gradúan la fuerza de una prueba por la razón de verosimilitud: de 10 a 100, apoyo moderado; de 100 a 1000, moderadamente fuerte; de 1000 a 10 000, fuerte; de 10 000 a un millón, muy fuerte; por encima de un millón, extremadamente fuerte. Cada peldaño verbal es una multiplicación por diez, o más. «Fuerte» y «muy fuerte» no son dos adjetivos cercanos: pueden estar separados por un factor de cien.
• Fraude. La ley de Benford —la cifra 1 aparece como primera cifra en torno al 30 % de los números reales— se usa como indicio en la inspección fiscal y contable. Es un indicio, no una prueba, y tiene límites conocidos: Nigrini, una de las referencias en la materia, recordó en 2020 que no sirve para probar un fraude electoral cuando las mesas electorales tienen tamaños parecidos.
• Multas. El Reglamento General de Protección de Datos, en su artículo 83, admite multas de hasta 10 millones de euros o el 2 % del volumen de negocio total anual mundial (apartado 4) y, en las infracciones más graves, de hasta 20 millones de euros o el 4 % (apartado 5), optándose por la de mayor cuantía. Entre una pequeña empresa y una multinacional hay de cuatro a seis órdenes de magnitud; el principio de proporcionalidad es, en el fondo, un razonamiento en proporciones.

La Tabla 7 reúne, para el economista y para el abogado, las situaciones en las que aparece la escala logarítmica, lo que puede esconder y la pregunta que conviene hacer antes de decidir. Es la tabla para llevar al despacho.

En lenguaje sencillo. Imagine dos cuentas de ahorro. En la primera, el banco añade 100 euros cada año. En la segunda, multiplica el saldo por 1,1. Los primeros años parecen iguales; al cabo de treinta años, la segunda tiene mucho más del doble. La ley del anatocismo, el criterio del ruido y la escala de la prueba pericial existen porque alguien se dio cuenta de que sumar y multiplicar no son lo mismo.

IX. La junta de vecinos, revisitada

Vuelvo a la sala, porque la frase del fondo merece tomarse en serio: es mejor de lo que parecía.

Es verdad: el terremoto de ayer fue «solo» de 5,3. Pero fíjese en lo que la frase concede sin darse cuenta: nadie en la sala necesitó saber qué es un logaritmo para sentir temblar el edificio, y ese terremoto liberó unas sesenta veces más energía que el de 4,1 del invierno. Los oídos de los vecinos tampoco necesitaron las tablas de Napier para darse cuenta de que el bar hacía diez veces más ruido del debido. El cuerpo midió bien; lo que midió mal fue la lectura.

La escala logarítmica no pide opinión. Funciona, como los imaginarios del pulpo, con independencia de la fe de quien la lee. Lo que se pide a quien decide —el administrador de la finca, la abogada, el tesorero, el inspector municipal, el periodista, el ingeniero, el juez— es una sola pregunta, hecha antes de cualquier conclusión: ¿esta regla suma o multiplica?

En la próxima junta, la abogada ya no tomará notas en silencio. Cuando el propietario del bar diga «solo diez más», ella responderá, sin levantar la voz: «Diez decibelios, señor. Diez veces». Y el tesorero añadirá, desde su hoja de cálculo: «Y por la noche, tres ya es el doble».

Una regla normal pregunta cuánto. Una regla logarítmica pregunta cuántas veces. Las buenas decisiones necesitan las dos preguntas.

Menos centímetros. Más proporciones.

En lenguaje sencillo. La próxima vez que oiga «ha subido un grado», pregunte: ¿un grado de qué? En un termómetro, es poco. En un terremoto, es treinta y dos veces. En la acidez, es diez veces. La pregunta correcta es siempre la misma: ¿esta regla suma o multiplica?

Gaspar do Amaral

Ilustraciones y tablas: © Aprecisa.com, con ayuda de IA.

Nota metodológica

Qué es esta página. Traducción del artículo que el autor publicó en LinkedIn el 10 de octubre de 2026; la versión portuguesa íntegra está en este sitio. La portada, los dos cuadros de fórmulas, las tres figuras y las siete tablas son las imágenes originales, con los textos en portugués; las leyendas traducen su contenido. Se han repuesto los exponentes y subíndices (10³, log₂) que la versión de LinkedIn había perdido. Las referencias anotadas siguen el orden del original: A. Punto de partida (1–3); B. Literatura científica e institucional (4–36); C. Escuela, derecho y economía (37–46); D. Casos reales y noticias (47–78). En el grupo D, la descripción de cada fuente, escrita en portugués en el original, va traducida en la anotación. Sigue la nota metodológica del autor.

Todo lo que en este ensayo no es dato publicado, sino cálculo o construcción del autor, se identifica a continuación.

1. Terremotos. Razón de energía = 10^{1,5 × ΔM} y razón de amplitud = 10^ΔM (USGS). Sines 5,3 y Alenquer 4,1: ΔM = 1,2, energía 10^1,8 ≈ 63, amplitud 10^1,2 ≈ 16. Kamchatka 8,8 y Myanmar 7,7: ΔM = 1,1, energía 10^1,65 ≈ 45. Revisión de 8,0 a 8,8: 10^1,2 ≈ 16.

2. Ruido. Razón de energía = 10^ΔL/10. 65 − 55 = 10 dB → 10; 85 − 55 = 30 dB → 1000; 87 − 80 = 7 dB → 10^0,7 ≈ 5; +3 dB → 10^0,3 ≈ 2.

3. pH. Razón de acidez = 10^ΔpH. 8,2 − 8,1 = 0,1 → 10^0,1 ≈ 1,26, o +26 %. El valor de «alrededor del 30 %» de la NOAA corresponde a un descenso ligeramente superior a 0,1.

4. Estrellas. Razón de brillo = 10^{−0,4 × Δm}. Betelgeuse de +0,5 a +1,6: Δm = 1,1 → 10^−0,44 ≈ 0,36, es decir, perdió alrededor del 64 % de su brillo. 100^1/5 ≈ 2,512.

5. Música. Semitono = 2^1/12 ≈ 1,059.

6. Transistores. 58,2 × 10⁹ ÷ 2308 ≈ 2,5 × 10⁷; log₂ ≈ 24,6 duplicaciones en 50 años, o una duplicación cada 2,03 años, valor que coincide con el publicado.

7. Junta de vecinos. 65 ÷ 55 ≈ 1,18, es decir, «un 18 % por encima» si la escala fuera normal; en energía, 10^{(65 − 55)/10} = 10.

8. Caso 3, balance del enlace. 1 W = +30 dBm; ganancia ×100 = +20 dB; ganancia ×1000 = +30 dB; pérdida ×10⁻¹⁶ = −160 dB. Suma: 30 + 20 + 30 − 160 = −80 dBm = 10⁻⁸ mW = 10⁻¹¹ W = 10 pW. Valores elegidos por el autor para ilustrar el método, no de un enlace real.

9. Capítulo VIII. 1,10 × 0,90 = 0,99. Regla del 72: 72 ÷ 3 = 24 años (el valor exacto es ln 2 ÷ ln 1,03 ≈ 23,4). Interés simple al 10 % durante 10 años: 10 × 10 % = 100 %; compuesto: 1,1¹⁰ ≈ 2,594. pH 6 a 9: 10^{9 − 6} = 1000. Criterio de molestia: 10^3/10 ≈ 2,0; 10^5/10 ≈ 3,2. Los valores del PIB per cápita y el ejemplo de elasticidad son ilustrativos.

10. Telecomunicaciones. 70 km × 0,18 dB/km = 12,6 dB → 10^−1,26 ≈ 0,055, o 5,5 %. 6000 km × 0,18 dB/km = 1080 dB. −30 − (−90) = 60 dB → 10⁶. Duplicar la distancia en el espacio libre: 20 × log₁₀(2) ≈ 6,02 dB. Shannon con 30 dB: log₂(1 + 1000) ≈ 9,97 bit/s/Hz; duplicar S/N añade log₂(2) = 1 bit/s/Hz, aproximadamente, para relaciones señal/ruido elevadas.

11. Ley de Benford (Tabla 2). P(d) = log₁₀(1 + 1/d): P(1) ≈ 30,1 %, P(9) ≈ 4,6 %.

12. Figura 1. Construida por el autor con seis precios redondos e ilustrativos (de 1 € a 100 000 €), elegidos para formar una progresión de razón 10. No son precios de mercado.

13. Figura 2. Construida por el autor con los límites del Regulamento Geral do Ruído (Decreto-Lei n.º 9/2007, art. 11) y de la Directiva 2003/10/CE. La energía relativa es 10^{(L − 55)/10}.

14. Figura 3. Serie ficticia construida por el autor: N(t) = 10 × 2^t/3, con t en días, de 0 a 30. No representa datos reales de ninguna epidemia.

15. Portada. Dibujo del autor: regla logarítmica de 1 a 10 000 con las multiplicaciones por diez entre marcas, una serie que crece por multiplicación y aparece como recta, y tres fórmulas del texto.

Referencias

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Gaspar do Amaral · Original en portugués del 10 de octubre de 2026, publicado en este sitio; traducción emitida el 27 de octubre de 2026 · Figuras y tablas © Aprecisa.com · Con ayuda de IA