十分贝不是多了十

这个场景是虚构的，但凡是在公寓楼里住过的人都会觉得眼熟。

业主大会。议程上的一项：一楼的酒吧。酒吧老板为人和气，准备充分，腋下夹着噪声检测报告，带着自认为有理的从容念道：“这个区域夜间的限值是 55 分贝。我们测到的是 65。只不过多了十而已。”会场后排有人附和，语气平静，像是刚看过早间新闻：“是啊。昨天的地震也才 5.3 级。”

前排，业主们请来的律师低头记着笔记，头也不抬。她旁边坐着司库，学经济出身，正在电子表格里核算维修基金。两人都没有反驳。

全场点头。而这个会场应得的回答，一行字就够了：十分贝不是多了十，而是十倍。

这篇文章，就是把这一行字展开来讲。因为这个看似家长里短的误解，贯穿了工程学的三个层面——电信、能源、大地与天空——最后归结为一个任何人都可以拿来问任何数字的问题：这把尺子是在做加法，还是在做乘法？

说得简单些：普通的尺子问的是“多了多少？”：多 1、多 10、多 100。对数尺问的是“是多少倍？”：两倍、十倍、一百倍。前者用来量一张桌子；后者用来比较一杯咖啡和一套房子。

一、1614 年的捷径

与虚数不同，对数并不是带着贬义的名字诞生的。它诞生于一个实际的目的。1614 年，苏格兰人约翰·纳皮尔（John Napier）在爱丁堡出版了第一张对数表，为的是让天文学家和航海者免去多位数相乘的辛苦。这个想法是一条捷径：不必把两个数相乘，只要把它们的对数相加，再查表即可。1624 年，亨利·布里格斯（Henry Briggs）把对数改为以 10 为底，精确到小数点后十四位。这个词本身就说明了一切：logos 加 arithmos，即“比之数”。

第一行是定义：一个数以 10 为底的对数，就是要把 10 自乘多少次才能得到这个数。1,000 的对数是 3；100 的对数是 2；1 的对数是 0。对于整十整百的数，它就是零的个数。第二行是让对数风光了三个半世纪的性质：乘积的对数等于各个对数之和。工程师们一直用到 20 世纪 70 年代的计算尺，就是这个道理：用长度相加来做数的乘法。

读完初中三年级的人其实已经知道要点，即使从没听过这个词。他知道 10³ = 1,000，知道 10² × 10³ = 10⁵——指数相加——也知道地球到太阳的距离用科学记数法写作 1.5 × 10⁸ km。对数不过是指数的名字：如果 10³ = 1,000，那么 log 1,000 = 3。而“乘积的对数等于各个对数之和”这条规则，就是那时学过的指数运算法则，只是倒过来看。

说得简单些：拿一个整数，数一数有几个零：100 有两个，1,000 有三个，1,000,000 有六个。零的个数就是对数。对数刻度就是一把每过一格就多一个零的尺子。

纳皮尔的对数表还留下了一个有趣的印记。1881 年，天文学家西蒙·纽科姆（Simon Newcomb）注意到，对数表前面几页比后面几页磨损得更厉害：现实世界中的数字，以 1 开头的比以 9 开头的多。1938 年，弗兰克·本福特（Frank Benford）证实了这一点：首位数字是 1 的情况约占 30%，是 9 的不到 5%。这就是本福特定律，如今税务审计人员用它来识别编造的数字。

表 1 在数、对数和文字之间架起了桥梁。日常生活中最有用的是第三列：对数每增加 1 就是“多一个零”，增加 0.5 约为三倍，增加 0.3 约为两倍。记住这三个对应关系——1 = ×10，0.5 ≈ ×3，0.3 ≈ ×2——就能在心里读懂任何对数刻度。

图 1 用六个日常价格展示了两种尺子的区别。

图 1 在两把长度相同的尺子上标出了六个整数价格——一杯咖啡 1 €、一顿饭 10 €、一双鞋 100 €、一台电脑 1,000 €、一辆汽车 10,000 €、一套房子 100,000 €。在上面的普通尺上，房子占据了尺子的末端，其余五个价格都挤在零点附近：咖啡、饭和鞋子根本分不清。在下面的对数尺上，每个价格与下一个价格的距离都相同，因为每一个都是前一个的十倍。普通尺把房子显示得很清楚，却把其余的都藏了起来；对数尺把一切都显示出来，但要求我们把距离读成乘法。

二、与生俱来的尺子

有人可能会认为，对数刻度是数学家的抽象发明，有用但不自然。这种反对意见在人体面前站不住脚。1834 年，生理学家恩斯特·韦伯（Ernst Weber）证明，我们能察觉到的两个重量之间的最小差别，是重量本身的一个固定比例：如果手里拿着 50 克时，要增加 1 克才能察觉，那么拿着 5,000 克时，要增加约 100 克才能察觉。1860 年，古斯塔夫·费希纳（Gustav Fechner）由此得出结论：感觉随刺激的对数而增长。1957 年，斯坦利·史蒂文斯（Stanley Stevens）把这一定律修正为幂律，但要点没有变：我们感知的是比例，而不是差值。

孩子们一开始就是这样。西格勒和奥普弗（Siegler 和 Opfer，2003）让孩子们在一条 0 到 1,000 的线上标出数字：小学二年级时，他们的估计是对数式的，小数字间距大，大数字挤在一起；到六年级时，估计已经变成线性的。德阿纳、伊扎尔、斯佩尔克和皮卡（Dehaene、Izard、Spelke 和 Pica，2008）在亚马孙地区很少或从未上过学的蒙杜鲁库族成年人身上发现了同样的模式。线性的尺子是在学校里学来的；对数的尺子似乎是与生俱来的。瓦什尼和孙（Varshney 和 Sun，2013）提出了一个理由：在一个自然刺激相差许多个数量级的世界里，按比例来感知可以使相对误差最小。

钱包也算的是同一笔账。1738 年，丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）提出，财富的效用是对数式的：100 欧元能改变一个只有 1,000 欧元的人的生活，对一个拥有一百万的人却几乎毫无意义。

表 2 汇集了确立这一观念的研究，从韦伯到瓦什尼，还有本福特定律和伯努利的效用理论。它们的共同点是：人是按比值来比较，而不是按差值。对数刻度对身体并不陌生；陌生的是学校。

说得简单些：在一间漆黑的屋子里，点亮一支蜡烛，一切都不一样了。在一间亮着十盏灯的屋子里，同样一支蜡烛却毫不起眼。蜡烛还是那支蜡烛；变的是比例。眼睛、耳朵和钱包算的都是同一笔账。

三、具有误导性的反驳

既然身体本来就按比例思考，业主大会上的人为什么还会点头？因为学校训练我们像读厘米一样读数字，而对数刻度写出来的数字又小又规矩：55、65、5.3、8.1。危险不在刻度本身，而在于把它当成普通刻度来读。

这种误读是有测量数据的。罗马诺、索蒂斯、多米尼奥尼和圭迪（Romano、Sotis、Dominioni 和 Guidi，2020）以 2,000 名美国成年人为对象，就一张对数刻度的新冠疫情图提出一个简单问题，答对率为 41%；同一张图改用普通刻度，答对率为 84%。门格及其同事（Menge 等，2018）测试了 623 名专业生态学家：93% 能正确读懂线性图，但只有 56% 能正确读懂双对数坐标图。赫克勒、米库拉和罗森布拉特（Heckler、Mikula 和 Rosenblatt，2013）在大学生身上也发现了类似的困难。

然而，对数刻度往往是最诚实的刻度。克利夫兰（Cleveland，1985）主张，对于跨越好几个数量级的数据应使用对数刻度；欧盟的数据可视化指南也建议，当百分比变化比绝对值更重要时使用对数刻度。两件事同时成立：对于乘法，它是最诚实的尺子；对于不了解它的人，它又是最具欺骗性的尺子。

表 3 概括了何时使用对数刻度、何时避免使用，以及最常见的读图错误。最危险的错误就是业主大会上的那一个：把距离读成差值。在对数尺上，距离衡量的是多少倍，而绝不是多了多少。

四、第一层：电信

在电信领域，分贝不是什么稀奇玩意儿，而是工作语言。它诞生于贝尔实验室：1929 年，贝尔实验室把他们的“传输单位”改名为分贝，以纪念亚历山大·格雷厄姆·贝尔。原因与纳皮尔的一样：在一条链路中，增益和损耗是相乘的，换成分贝就变成相加。

自由空间损耗——国际电联建议书 ITU-R P.525 根据弗里斯公式（Friis，1946）计算——距离每翻一番就增加 6 dB。现代单模光纤在 1,550 nm 波长下的损耗约为 0.18 dB/km，低于 ITU-T G.652 建议书允许的最大值 0.3 dB/km。在海底光缆两个中继器之间 70 km 的一段上，损耗约为 12.6 dB：到达下一个中继器的光只剩约 5.5%。如果没有中继器，6,000 km 的光纤损耗约为 1,080 dB——剩下的部分小到宇宙中任何接收机都探测不到。这就是为什么一条跨洋光缆是一串放大器，而不是一根线。

在另一个极端，在一个 Wi-Fi 接入点上，−30 dBm（信号极好）与 −90 dBm（信号无法使用）之间相差 60 dB：功率相差一百万倍，而刻度上只是从“−30”到“−90”。就连信道容量也是对数式的。香农（Shannon，1948）证明，最大容量为 C = B · log₂(1 + S/N)：信噪比为 30 dB，即一千倍时，每赫兹最多约传输 10 bit/s；而把信号功率加倍，每秒每赫兹只增加约一个比特。

表 4 就是分贝乘法表：通信工程师张口就来的对应关系，任何人花一个下午都能学会。黄金法则在第一行：+3 dB 是两倍；−3 dB 是一半。

五、第二层：能源与技术

在能源领域，对数刻度可以用来比较那些放不进同一把普通尺子的东西。所以我在《O barril de 200 quilos》（《200 公斤的桶》）一文中用了它：光伏每 GWh 产生 13 吨废物，铀为 26 吨，两者相差一倍；煤为 88 吨，是铀的三倍多；而那根 190 的斜纹柱子约为 13 那根的十五倍。在普通尺上，13 和 26 会贴在零点上，190 会压倒一切。在对数尺上，每个数值都待在比例为它安排的位置上。

对数刻度还可以用来观察按乘法增长或下降的事物。处理器中的晶体管数量从 1971 年的 2,308 个增加到 2021 年的 582 亿个：每两年翻一番，正如戈登·摩尔在 1965 年所预测的那样。光伏组件的价格自 1976 年以来下降了约 99.6%，累计产量每翻一番价格约下降 20%——这就是赖特（T. P. Wright）1936 年针对飞机描述的学习曲线。电池价格在 2025 年降到 108 $/kWh。在普通图表上，这些序列看起来像悬崖；在对数图表上，它们是直线，直线的斜率就是学习率。韦伊及其同事（Way 等，2022）正是用这些直线证明，能源模型一直系统性地低估了光伏成本的下降。

六、第三层：大地与天空

地震。自里克特（Richter，1935）起，震级就是一个对数；汉克斯和金森博雄（Hanks 和 Kanamori，1979）的矩震级标度保留了这一原理。据美国地质调查局介绍，震级每增加一级，振幅增大十倍，能量约增加 32 倍。2024 年 8 月 26 日发生在锡尼什（Sines）以西的 5.3 级地震，释放的能量约为 2026 年 2 月 19 日大里斯本地区有感的 4.1 级地震的 63 倍。2025 年 7 月堪察加 8.8 级地震释放的能量，约为同年 3 月缅甸 7.7 级地震的 45 倍。当一次地震的震级从 8.0 修订为 8.8 时——堪察加地震就是如此——它并不是“稍微强了一点”：它的能量变成了约十六倍。

海洋。pH 值由索伦森（Sørensen）于 1909 年定义，是一个负对数：每降低一个单位，酸度就增加到十倍。自工业化以前至今，海洋表层的 pH 值已从约 8.2 降到约 8.1。十分之一看起来微不足道；实际上酸度增加了约 26% 到 30%。2025 年 9 月，波茨坦研究所宣布，海洋酸化的行星边界已被突破。

星星。星等是一个反过来的对数：数字越大，星星越暗。1856 年，诺曼·波格森（Norman Pogson）确定，五个星等对应亮度相差 100 倍，即每个星等约 2.512 倍。2019 年底至 2020 年 2 月，参宿四（Betelgeuse）从约 +0.5 等变为 +1.6 等：亮度损失了约三分之二，美国国家航空航天局也证实了这一点。一个“1.1”，实际上意味着只剩下将近三分之一。

音乐。高一个八度就是频率加倍：根据 ISO 16 标准，标准音 A 为 440 Hz，高八度的 A 为 880 Hz。每个半音把频率乘以约 1.06。钢琴的键盘就是一把对数尺：琴键等距，乘数相等。

表 5 汇集了日常生活中的对数刻度，并为每一种列出一级代表多少，以及一个最近的真实案例。这张表值得保存：心中有了它，看新闻的眼光就会不一样。

七、三个实际案例

因为这种刻度一旦被读错，就会出现在噪声报告里、新闻图表里和链路预算里。

案例 1——“只多了十”的酒吧。葡萄牙的 Regulamento Geral do Ruído（《噪声总条例》）规定，敏感区的昼间–傍晚–夜间综合指标限值为 55 dB(A)，夜间为 45 dB(A)；混合区分别为 65 和 55 dB(A)。这些数字看起来像邻居，声能却不是：65 dB(A) 的能量是 55 的十倍，85 dB(A) 则是一千倍。欧盟关于工作场所噪声的指令规定行动值为 80 和 85 dB(A)，限值为 87 dB(A)：从 80 到 87 dB，能量增加到五倍。美国国家职业安全卫生研究所（NIOSH）建议，在 85 dB(A) 以上每增加 3 dB，暴露时间就应减半。酒吧老板并不是超标 18%；他超标了十倍。

图 2 把适用于葡萄牙的法定噪声限值放在同一把尺子上：敏感区的 45 和 55 dB(A)，混合区的 55 和 65 dB(A)，以及工作场所噪声指令的 80、85 和 87 dB(A)。每个数值下方是相对于 55 dB(A) 的声能。尺子上的数字看起来很接近——55、65、85——能量却不是：65 dB(A) 的能量是 55 的十倍，85 dB(A) 是一千倍。这是最好的例子，说明对数刻度会如何毫无理由地让把它当普通刻度来读的人放下心来。

案例 2——“爆炸”的曲线。凡是始终按同一比例增长的东西——利息、疫情、晶体管——在对数刻度上都显示为一条直线。美国市场监管机构推广的“72 法则”说，年利率 9% 时，本金大约 8 年翻一番。2020 年，《金融时报》的约翰·伯恩-默多克（John Burn-Murdoch）推广了对数刻度的新冠疫情图，原因正在于此：恒定的节奏是一条直线，而减速就是一条弯下来的线。

图 3 展示了一个虚构序列：从 10 开始，每三天翻一番，持续 30 天，最后达到 10,240。左边是普通刻度，前二十天似乎什么都没有，一切似乎都发生在最后：这就是“爆炸”的曲线。右边是对数刻度，同一个序列是一条完美的直线，可以看出节奏丝毫没有变化——一直以同样的步伐翻番。普通刻度显示问题的规模；对数刻度显示节奏。要及时作出决定，起作用的是节奏。

案例 3——学生与链路预算。请一名学生计算一条链路的接收功率：一台 1 W 的发射机，两副增益分别为 100 倍和 1,000 倍的天线，以及一亿亿分之一（10¹⁶ 分之一）的传播损耗。走“普通”数字的路，他要把四个带一长串零的数相乘，第二步就点错了小数点。走分贝的路，他写下 +30 dBm、+20 dB、+30 dB 和 −160 dB，然后相加：−80 dBm，也就是十皮瓦。一行就够了。这不是什么诀窍，而是发现问题的结构——相乘的增益和损耗——正是对数的结构。四个世纪之后，又是纳皮尔在帮人省力气。

说得简单些：一株每天面积翻一番的睡莲，在把池塘全部盖满的前一天，只盖住了一半。只看池塘的人，到最后一天才看到问题；看节奏的人，第一天就看到了。

由此可以得出一个五步读图法：

• 1. 看坐标轴。如果刻度是 1、10、100、1,000，那就是对数刻度。
• 2. 数跳跃。从一个刻度跳到下一个刻度，就是乘以十。
• 3. 把距离读成乘法。同样的距离永远代表同样的倍数。
• 4. 把直线读成节奏。直线就是恒定的增长；斜率就是增长率。
• 5. 回到数字本身。下结论之前，换算成绝对值：“多十倍”，是在多少的基础上？

八、律师和司库

散会后，律师和司库留在后面收拾文件。她半笑着问：“在法庭上，夜里多三分贝，算多还是算少？”他耸耸肩：“我高三学过对数，现在全忘了。”她笑了：“我连这都没学过。我读的是文科。”

两人在不知不觉中描述了葡萄牙的求学路径。真正意义上的对数——定义、运算法则、对数函数——是十二年级 Matemática A（主修数学）课程的内容，这门课属于“科学与技术”和“社会经济科学”两个方向，几乎所有未来的经济学家和工程师都要经过这里。葡萄牙Direção-Geral da Educação（教育总局）为 2025/2026 学年试点班编写的练习册，已经把对数应用到 pH 值和分贝上。而在许多未来法律工作者所在的“语言与人文”方向，Matemática Aplicada às Ciências Sociais（社会科学应用数学）课程会比较线性、指数和对数增长，也讲利息和通货膨胀，但不涉及对数的计算。因此，那些对噪声、地震或统计证据作出裁决的人，可能从来没有用过对数刻度。

表 6 显示了在葡萄牙教育中，对数刻度出现在哪个年级、哪门课程。这不是在批评学校，而是在提醒那些多年以后要用这些数字来作决定的人。

司库需要记住的。经济学家靠比例吃饭。如果价格先涨 10% 再跌 10%，并不会回到原点：1.10 × 0.90 = 0.99，损失了 1%。用对数来看，涨和跌的幅度是一样的，这就是经济学家用对数来衡量增长的原因：对数的微小差值几乎正好就是百分比变化。业主的维修基金按年利率 3% 投资，根据 72 法则，大约 72 ÷ 3 = 24 年翻一番。物价在 3% 的通货膨胀下也是如此。各国的人均国内生产总值从几百美元到十万美元以上不等：只有在对数尺上，它们才能全部放进同一张图，而不让最穷的国家消失在零点附近。当经济学家说需求的“弹性为 −2”时，他的意思是，价格上涨 1%，需求约下降 2%——这是比例之间的关系，在对数刻度的图上显示为一条直线。

律师需要知道的。法律工作者依据别人测量的数字作出决定，而这些数字中有许多是以对数刻度给出的。

• 噪声。葡萄牙《噪声总条例》（Regulamento Geral do Ruído）第 13 条规定了扰民标准：有该项活动与没有该项活动时的噪声之差，白天不得超过 5 dB(A)，傍晚不得超过 4 dB(A)，夜间不得超过 3 dB(A)。三分贝就是声能的两倍。立法者用分贝写下了“两倍”。把“只多三”理解为微不足道的容差，就是读错了法律。
• 环境。葡萄牙 Decreto-Lei n.º 236/98（第 236/98 号法令）规定的废水排放限值允许 pH 值在 6.0 到 9.0 之间。这看起来是一个很窄的范围。但 pH 6 和 pH 9 之间的酸度相差一千倍。
• 利滚利。葡萄牙《民法典》（Código Civil）第 560 条规定，已到期的利息要再产生利息，须有到期后订立的约定，或对债务人的司法通知；第 2 款补充说，“只有对应至少一年期间的利息才可以资本化”；第 3 款规定，如上述限制与商业的特别规则或惯例相抵触，则不适用。这种谨慎是有道理的：年利率 10%、为期十年，单利累计为本金的 100%；复利则把本金乘以 1.1¹⁰ ≈ 2.59，即多出 159%。加法和乘法之差，就是这两种算法之差。
• 鉴定证据。欧洲法庭科学研究所联盟（ENFSI，2015）的指南按似然比来分级证据的强度：10 到 100，中等支持；100 到 1,000，中等偏强；1,000 到 10,000，强；10,000 到一百万，很强；一百万以上，极强。每上一个措辞台阶，就是乘以十，甚至更多。“强”和“很强”并不是两个相近的形容词：它们之间可能相差一百倍。
• 欺诈。本福特定律——在现实的数字中，约有 30% 以 1 开头——在税务和会计审计中被用作线索。它只是线索，不是证据，而且有众所周知的局限：该领域的权威之一尼格里尼（Nigrini）在 2020 年提醒，当各投票站规模相近时，不能用它来证明选举舞弊。
• 罚款。欧盟《通用数据保护条例》（GDPR）第 83 条允许处以最高 1,000 万欧元或全球年营业额 2% 的罚款（第 4 款），对于最严重的违法行为，最高可达 2,000 万欧元或 4%（第 5 款），以较高者为准。小企业和跨国公司之间相差四到六个数量级；比例原则说到底，就是按比例进行推理。

表 7 为经济学家和律师汇集了对数刻度出现的情形、它可能掩盖的东西，以及在作决定之前应当提出的问题。这是一张可以带进办公室的表。

说得简单些：设想有两个储蓄账户。第一个，银行每年往里加 100 欧元。第二个，银行每年把余额乘以 1.1。头几年两者看起来一样；三十年后，第二个远远超过第一个的两倍。关于复利（利滚利）的法律、噪声扰民标准和鉴定证据的分级之所以存在，是因为有人意识到加法和乘法不是一回事。

九、重回业主大会

我再回到那个会场，因为后排那句话值得认真对待——它比看上去要好。

没错：昨天的地震“才” 5.3 级。但请注意这句话不经意间承认了什么：会场里没有一个人需要知道对数是什么，就能感觉到楼在摇晃，而那次地震释放的能量约为冬天那次 4.1 级地震的六十倍。邻居们的耳朵也不需要纳皮尔的对数表，就能察觉到酒吧的噪声是应有水平的十倍。身体测得很准；测错的是读法。

对数刻度不需要征求意见。就像章鱼的虚数一样，不管读它的人信不信，它都照样起作用。对那些作决定的人——物业管理人、律师、司库、市政检查员、记者、工程师、法官——要求的只是一个问题，而且要在得出任何结论之前提出：这把尺子是在做加法，还是在做乘法？

下一次开会时，律师不会再默默地记笔记了。当酒吧老板说“只多了十”时，她会不提高嗓门地回答：“十分贝，先生。是十倍。”司库则会对着他的电子表格补充一句：“而且在夜里，三分贝就已经是两倍了。”

普通的尺子问多少。对数的尺子问多少倍。好的决定两个问题都需要。

少一些厘米，多一些比例。

说得简单些：下次再听到“上升了一度”，请问一句：是什么的一度？在温度计上，这不算多。在地震里，这是三十二倍。在酸度上，这是十倍。该问的问题永远是同一个：这把尺子是在做加法，还是在做乘法？

Gaspar do Amaral

插图和表格：© Aprecisa.com，借助人工智能。

方法说明

本页是什么。本页译自作者于 2026 年 10 月 10 日在领英（LinkedIn）发表的文章；葡萄牙语全文见本网站。封面、两组公式、三幅图和七张表均为原始图片，文字为葡萄牙语；图注翻译了其内容。领英版本丢失的上标和下标（10³、log₂）已经恢复。带注释的参考资料按原文顺序排列：A. 出发点（1–3）；B. 科学与机构文献（4–36）；C. 学校、法律与经济（37–46）；D. 真实案例与新闻（47–78）。D 组中每个来源的说明，原文以葡萄牙语写成，在注释中给出译文。以下是作者本人的方法说明。

本文中凡不属于已发表数据、而是作者自行计算或构建的内容，均在下面列明。

1. 地震。能量比 = 10^{1.5 × ΔM}，振幅比 = 10^ΔM（USGS）。锡尼什 5.3 级与阿伦克尔（Alenquer）4.1 级：ΔM = 1.2，能量 10^1.8 ≈ 63，振幅 10^1.2 ≈ 16。堪察加 8.8 级与缅甸 7.7 级：ΔM = 1.1，能量 10^1.65 ≈ 45。从 8.0 修订为 8.8：10^1.2 ≈ 16。

2. 噪声。能量比 = 10^ΔL/10。65 − 55 = 10 dB → 10；85 − 55 = 30 dB → 1,000；87 − 80 = 7 dB → 10^0.7 ≈ 5；+3 dB → 10^0.3 ≈ 2。

3. pH 值。酸度比 = 10^ΔpH。8.2 − 8.1 = 0.1 → 10^0.1 ≈ 1.26，即 +26%。美国国家海洋和大气管理局（NOAA）“约 30%”的数字，对应的降幅略大于 0.1。

4. 星星。亮度比 = 10^{−0.4 × Δm}。参宿四从 +0.5 到 +1.6：Δm = 1.1 → 10^−0.44 ≈ 0.36，即亮度损失约 64%。100^1/5 ≈ 2.512。

5. 音乐。半音 = 2^1/12 ≈ 1.059。

6. 晶体管。58.2 × 10⁹ ÷ 2,308 ≈ 2.5 × 10⁷；log₂ ≈ 24.6，即 50 年翻番 24.6 次，或每 2.03 年翻一番，与已公布的数值一致。

7. 业主大会。65 ÷ 55 ≈ 1.18，即如果是普通刻度，就是“超出 18%”；按能量算，10^{(65 − 55)/10} = 10。

8. 案例 3，链路预算。1 W = +30 dBm；增益 ×100 = +20 dB；增益 ×1,000 = +30 dB；损耗 ×10⁻¹⁶ = −160 dB。求和：30 + 20 + 30 − 160 = −80 dBm = 10⁻⁸ mW = 10⁻¹¹ W = 10 pW。这些数值是作者为说明方法而选的，并非来自真实链路。

9. 第八部分。1.10 × 0.90 = 0.99。72 法则：72 ÷ 3 = 24 年（精确值为 ln 2 ÷ ln 1.03 ≈ 23.4）。年利率 10%、10 年的单利：10 × 10% = 100%；复利：1.1¹⁰ ≈ 2.594。pH 6 到 9：10^{9 − 6} = 1,000。扰民标准：10^3/10 ≈ 2.0；10^5/10 ≈ 3.2。人均国内生产总值的数值和弹性的例子仅作说明之用。

10. 电信。70 km × 0.18 dB/km = 12.6 dB → 10^−1.26 ≈ 0.055，即 5.5%。6,000 km × 0.18 dB/km = 1,080 dB。−30 − (−90) = 60 dB → 10⁶。自由空间中距离加倍：20 × log₁₀(2) ≈ 6.02 dB。30 dB 时的香农公式：log₂(1 + 1,000) ≈ 9.97 bit/s/Hz；在高信噪比下，把 S/N 加倍大约增加 log₂(2) = 1 bit/s/Hz。

11. 本福特定律（表 2）。P(d) = log₁₀(1 + 1/d)：P(1) ≈ 30.1%，P(9) ≈ 4.6%。

12. 图 1。由作者用六个说明性的整数价格（1 € 到 100,000 €）构建，选取这些价格是为了构成公比为 10 的数列。它们不是市场价格。

13. 图 2。由作者依据 Regulamento Geral do Ruído（Decreto-Lei n.º 9/2007 第 11 条）和第 2003/10/EC 号指令的限值构建。相对能量为 10^{(L − 55)/10}。

14. 图 3。作者构建的虚构序列：N(t) = 10 × 2^t/3，t 以天计，从 0 到 30。它不代表任何疫情的真实数据。

15. 封面。作者绘制：一把从 1 到 10,000 的对数尺，刻度之间是乘以十；一个按乘法增长、显示为直线的序列；以及文中的三个公式。

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Gaspar do Amaral · 葡萄牙语原文发表于本站，日期为2026年10月10日；译本发布于2026年10月27日 · 图表 © Aprecisa.com · 借助人工智能