Dez decibéis não são mais dez

A cena é imaginada, mas qualquer pessoa que já morou em um prédio vai reconhecê-la.

Reunião de condomínio. Na pauta, o bar do térreo. O proprietário, homem afável e bem preparado, traz o laudo de medição debaixo do braço e o lê com a calma de quem tem razão: «O limite da zona é 55 decibéis à noite. Medimos 65. São só mais dez.» Do fundo da sala, alguém concorda, com a tranquilidade de quem viu o noticiário da manhã: «Pois é. E o terremoto de ontem também foi só de 5,3.»

Na primeira fila, a advogada que o condomínio contratou toma notas sem levantar os olhos. Ao lado, o tesoureiro, economista de formação, faz contas do fundo de reserva em uma planilha. Nenhum dos dois contesta.

A sala concorda com a cabeça. E a resposta que a sala merece cabe em uma linha: dez decibéis não são mais dez — são dez vezes.

Este artigo é essa linha desdobrada. Porque a confusão, aparentemente doméstica, atravessa três camadas da engenharia — as telecomunicações, a energia, a Terra e o céu — e termina em uma pergunta que qualquer pessoa pode fazer a qualquer número: esta régua soma ou multiplica?

Em linguagem simples. Uma régua normal pergunta «quanto a mais?»: mais 1, mais 10, mais 100. Uma régua logarítmica pergunta «quantas vezes mais?»: o dobro, dez vezes, cem vezes. A primeira serve para medir uma mesa; a segunda serve para comparar um café com uma casa.

I. O atalho de 1614

Ao contrário dos números imaginários, o logaritmo não nasceu com um nome pejorativo. Nasceu com um propósito prático. Em 1614, o escocês John Napier publicou em Edimburgo a primeira tabela de logaritmos, para poupar aos astrônomos e aos navegadores o trabalho de multiplicar números de muitos algarismos. A ideia era um atalho: em vez de multiplicar dois números, somavam-se os seus logaritmos e consultava-se a tabela. Em 1624, Henry Briggs os colocou em base 10, com catorze casas decimais. A palavra diz tudo: logos e arithmos, o número da razão.

A primeira linha é a definição: o logaritmo de base 10 de um número é o número de vezes que é preciso multiplicar 10 por ele mesmo para chegar lá. O de 1.000 é 3; o de 100 é 2; o de 1 é 0. Para números redondos, é simplesmente o número de zeros. A segunda linha é a propriedade que fez a fortuna dos logaritmos durante três séculos e meio: o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos. A régua de cálculo, que os engenheiros usaram até os anos 70, é exatamente isso: somar comprimentos para multiplicar números.

Quem fez o 9º ano já sabe o essencial, mesmo que nunca tenha ouvido a palavra. Sabe que 10³ = 1.000, que 10² × 10³ = 10⁵ — os expoentes se somam — e que a distância da Terra ao Sol se escreve 1,5 × 10⁸ km, em notação científica. O logaritmo é apenas o nome do expoente: se 10³ = 1.000, então log 1.000 = 3. E a regra de que «o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos» é a mesma regra dos expoentes que se aprende nessa época, vista ao contrário.

Em linguagem simples. Pegue um número redondo e conte os zeros: 100 tem dois, 1.000 tem três, 1.000.000 tem seis. Esse número de zeros é o logaritmo. Uma escala logarítmica é uma régua em que cada traço acrescenta um zero.

A tabela de Napier deixou uma marca curiosa. Em 1881, o astrônomo Simon Newcomb reparou que as primeiras páginas das tabelas de logaritmos estavam mais gastas do que as últimas: os números do mundo real começam mais vezes por 1 do que por 9. Frank Benford o confirmou em 1938: o primeiro algarismo é 1 em cerca de 30% dos casos e 9 em menos de 5%. É a lei de Benford, que os auditores fiscais usam hoje para detectar números inventados.

A Tabela 1 faz a ponte entre números, logaritmos e palavras. A terceira coluna é a que importa no dia a dia: cada unidade do logaritmo é «mais um zero», meia unidade é cerca de três vezes e três décimos são cerca do dobro. Quem decorar estas três equivalências — 1 = ×10, 0,5 ≈ ×3, 0,3 ≈ ×2 — lê de cabeça qualquer escala logarítmica.

A Figura 1 mostra a diferença entre as duas réguas com seis preços do cotidiano.

A Figura 1 marca seis preços redondos — um café a 1 €, uma refeição a 10 €, um par de sapatos a 100 €, um computador a 1.000 €, um carro a 10.000 € e uma casa a 100.000 € — em duas réguas com o mesmo comprimento. Na régua normal, em cima, a casa ocupa o fim da régua e os outros cinco preços ficam espremidos junto ao zero: o café, a refeição e os sapatos são indistinguíveis. Na régua logarítmica, embaixo, cada preço fica à mesma distância do seguinte, porque cada um vale dez vezes o anterior. A régua normal mostra bem a casa e esconde o resto; a logarítmica mostra tudo, mas obriga a ler distâncias como multiplicações.

II. A régua que trazemos de fábrica

Poderia-se pensar que a escala logarítmica é uma abstração de matemáticos, útil mas artificial. A objeção não resiste ao corpo humano. Em 1834, o fisiologista Ernst Weber mostrou que a menor diferença que notamos entre dois pesos é uma fração constante do peso: se, com 50 gramas na mão, só notamos o acréscimo a partir de 1 grama, com 5.000 gramas só o notaremos a partir de cerca de 100. Em 1860, Gustav Fechner concluiu daí que a sensação cresce com o logaritmo do estímulo. Em 1957, Stanley Stevens corrigiu a lei para uma potência, mas o essencial se manteve: percebemos proporções, não diferenças.

As crianças começam assim. Siegler e Opfer (2003) pediram a crianças que marcassem números em uma linha de 0 a 1.000: no 2º ano, as estimativas eram logarítmicas, com os números pequenos espaçados e os grandes amontoados; no 6º ano, já eram lineares. Dehaene, Izard, Spelke e Pica (2008) encontraram o mesmo padrão em adultos mundurucus, na Amazônia, com pouca ou nenhuma escolaridade. A régua linear se aprende na escola; a logarítmica parece vir de fábrica. Varshney e Sun (2013) propuseram uma razão: em um mundo em que os estímulos naturais variam por muitas ordens de grandeza, perceber em proporções minimiza o erro relativo.

A carteira faz a mesma conta. Em 1738, Daniel Bernoulli propôs que a utilidade da riqueza é logarítmica: 100 euros mudam a vida de quem tem 1.000 e quase nada a de quem tem um milhão.

A Tabela 2 reúne as obras que estabeleceram esta ideia, de Weber a Varshney, com a lei de Benford e a utilidade de Bernoulli. O ponto comum é que o ser humano compara por razão e não por diferença. A escala logarítmica não é estranha ao corpo; é estranha à escola.

Em linguagem simples. Em uma sala às escuras, acender uma vela faz toda a diferença. Em uma sala com dez lâmpadas acesas, a mesma vela não se nota. A vela é igual; mudou a proporção. Os olhos, os ouvidos e a carteira fazem a mesma conta.

III. A objeção que engana

Se o corpo já pensa em proporções, por que a sala do condomínio concordou? Porque a escola nos treinou a ler números como centímetros, e uma escala logarítmica se escreve com números pequenos e bem-comportados: 55, 65, 5,3, 8,1. O perigo não está na escala; está em lê-la como se fosse normal.

O erro está medido. Romano, Sotis, Dominioni e Guidi (2020), com 2.000 adultos americanos, obtiveram 41% de respostas corretas a uma pergunta simples sobre um gráfico logarítmico da COVID-19, contra 84% com o mesmo gráfico em escala normal. Menge e colegas (2018) testaram 623 ecólogos profissionais: 93% leram corretamente um gráfico linear, mas só 56% leram corretamente um gráfico logarítmico nos dois eixos. Heckler, Mikula e Rosenblatt (2013) descreveram dificuldades semelhantes em estudantes universitários.

E, no entanto, a escala logarítmica é muitas vezes a mais honesta. Cleveland (1985) a defendeu para dados que atravessam várias ordens de grandeza, e o guia de visualização de dados da União Europeia a recomenda quando a variação percentual importa mais do que o valor absoluto. As duas coisas são verdade ao mesmo tempo: é a régua mais honesta para multiplicações e a mais traiçoeira para quem não a conhece.

A Tabela 3 resume quando usar a escala logarítmica, quando evitá-la e os erros de leitura mais comuns. O erro mais perigoso é o da sala do condomínio: ler distâncias como diferenças. Em uma régua logarítmica, a distância mede quantas vezes, nunca quanto.

IV. Primeira camada: telecomunicações

Nas telecomunicações, o decibel não é uma curiosidade; é a língua de trabalho. Nasceu nos Laboratórios Bell, que em 1929 rebatizaram a sua «unidade de transmissão» de decibel, em homenagem a Alexander Graham Bell. A razão é a mesma de Napier: em um enlace, ganhos e perdas se multiplicam, e em decibéis passam a se somar.

A perda no espaço livre, que a Recomendação ITU-R P.525 calcula a partir da fórmula de Friis (1946), aumenta 6 dB sempre que a distância dobra. Uma fibra monomodo moderna perde cerca de 0,18 dB/km a 1.550 nm, abaixo do máximo de 0,3 dB/km admitido pela Recomendação ITU-T G.652. Em um trecho de 70 km entre dois repetidores de um cabo submarino, perdem-se cerca de 12,6 dB: chega ao repetidor seguinte apenas cerca de 5,5% da luz. Sem repetidores, 6.000 km de fibra perderiam cerca de 1.080 dB — uma fração tão pequena que nenhum receptor do universo a detectaria. É por isso que um cabo transoceânico é uma corrente de amplificadores, e não um fio.

No outro extremo, em um ponto de acesso Wi-Fi, a diferença entre −30 dBm, um sinal excelente, e −90 dBm, um sinal inutilizável, são 60 dB: um milhão de vezes menos potência, em uma escala que vai de «−30» a «−90». E até a capacidade de um canal é logarítmica. Shannon (1948) mostrou que a capacidade máxima é C = B · log₂(1 + S/N): com uma relação sinal-ruído de 30 dB, mil vezes, cada hertz transporta no máximo cerca de 10 bit/s, e dobrar a potência do sinal acrescenta apenas cerca de um bit por segundo e por hertz.

A Tabela 4 é a tabuada dos decibéis: as equivalências que um engenheiro de comunicações usa de cabeça e que qualquer pessoa pode aprender em uma tarde. A regra de ouro é a primeira linha: +3 dB é o dobro; −3 dB é a metade.

V. Segunda camada: energia e tecnologia

Na energia, a escala logarítmica serve para comparar o que não cabe na mesma régua normal. Foi por isso que a usei em «O barril de 200 quilos»: o solar, com 13 toneladas de resíduo por GWh, e o urânio, com 26, ficam separados por um fator de dois; o carvão, com 88, fica a mais do triplo do urânio; e a barra riscada de 190 fica a cerca de quinze vezes a barra de 13. Em uma régua normal, o 13 e o 26 colariam no zero e o 190 dominaria tudo. Em uma régua logarítmica, cada valor fica onde a proporção o coloca.

A escala logarítmica serve também para ver o que cresce ou cai por multiplicação. O número de transistores em um processador passou de 2.308 em 1971 para 58,2 bilhões em 2021: dobrou a cada dois anos, como Gordon Moore previu em 1965. O preço dos módulos solares caiu cerca de 99,6% desde 1976, cerca de 20% a cada duplicação da produção acumulada, a curva de aprendizagem que T. P. Wright descreveu para os aviões em 1936. As baterias chegaram a 108 $/kWh em 2025. Em um gráfico normal, essas séries parecem precipícios; em um gráfico logarítmico, são retas, e a inclinação da reta é a taxa de aprendizagem. Way e colegas (2022) usaram justamente essas retas para mostrar que os modelos de energia subestimaram, sistematicamente, a queda de custo do solar.

VI. Terceira camada: a Terra e o céu

Terremotos. A magnitude é um logaritmo desde Richter (1935); a escala de magnitude de momento de Hanks e Kanamori (1979) manteve o princípio. Cada unidade a mais significa uma amplitude dez vezes maior e cerca de 32 vezes mais energia, segundo o Serviço Geológico dos Estados Unidos. O terremoto de magnitude 5,3 a oeste de Sines, em 26 de agosto de 2024, liberou cerca de 63 vezes mais energia do que o de magnitude 4,1 sentido na Grande Lisboa em 19 de fevereiro de 2026. O de Kamchatka, de magnitude 8,8, em julho de 2025, liberou cerca de 45 vezes mais energia do que o de Mianmar, de 7,7, em março. Quando um terremoto é revisto de 8,0 para 8,8, como aconteceu com o de Kamchatka, não ficou «um pouco mais forte»: ficou cerca de dezesseis vezes mais energético.

Oceanos. O pH, definido por Sørensen em 1909, é um logaritmo negativo: cada unidade a menos significa dez vezes mais acidez. A superfície do oceano desceu de um pH de cerca de 8,2 para cerca de 8,1 desde a era pré-industrial. Um décimo parece nada; são cerca de 26 a 30% mais acidez. Em setembro de 2025, o Instituto de Potsdam declarou ultrapassado o limite planetário da acidificação dos oceanos.

Estrelas. A magnitude estelar é um logaritmo invertido: quanto maior o número, menos brilhante a estrela. Em 1856, Norman Pogson estabeleceu que cinco magnitudes correspondem a um fator de 100 no brilho, cerca de 2,512 por magnitude. Entre o fim de 2019 e fevereiro de 2020, Betelgeuse passou de cerca de +0,5 para +1,6: perdeu cerca de dois terços do brilho, como confirmou a NASA. Um «1,1» que é, na verdade, quase um terço.

Música. Uma oitava acima é o dobro da frequência: o lá de referência está a 440 Hz, pela norma ISO 16, e o lá seguinte a 880 Hz. Cada semitom multiplica a frequência por cerca de 1,06. O teclado de um piano é uma régua logarítmica: teclas igualmente espaçadas, multiplicações iguais.

A Tabela 5 reúne as escalas logarítmicas do cotidiano e mostra, para cada uma, quanto vale um passo e um caso real recente. É a tabela para guardar: quem a tiver presente vê o noticiário com outros olhos.

VII. Três casos práticos

Porque a escala, quando é mal lida, aparece no laudo de ruído, no gráfico do noticiário e no orçamento do enlace.

Caso 1 — O bar que fazia «só mais dez». O Regulamento Geral do Ruído português fixa, para as zonas sensíveis, 55 dB(A) de indicador diurno-vespertino-noturno e 45 dB(A) à noite; para as zonas mistas, 65 e 55 dB(A). Os números parecem vizinhos, mas a energia sonora não: 65 dB(A) são dez vezes mais energia do que 55, e 85 dB(A) seriam mil vezes mais. A diretiva europeia sobre ruído no trabalho fixa valores de ação de 80 e 85 dB(A) e um limite de 87 dB(A): de 80 para 87 dB, a energia quintuplica. A NIOSH recomenda que, a cada 3 dB acima de 85 dB(A), o tempo de exposição seja reduzido pela metade. O proprietário do bar não estava 18% acima do limite; estava dez vezes acima.

A Figura 2 coloca na mesma régua os limites legais de ruído que se aplicam em Portugal: os 45 e 55 dB(A) das zonas sensíveis, os 55 e 65 dB(A) das zonas mistas e os 80, 85 e 87 dB(A) da diretiva sobre ruído no trabalho. Embaixo de cada valor está a energia sonora em relação a 55 dB(A). Os números da régua parecem próximos — 55, 65, 85 —, mas a energia não: 65 dB(A) são dez vezes mais energia do que 55, e 85 dB(A) são mil vezes mais. É o melhor exemplo de como uma escala logarítmica pode tranquilizar, sem razão, quem a lê como se fosse normal.

Caso 2 — A curva que «explode». Tudo o que cresce sempre na mesma proporção — juros, epidemias, transistores — aparece como uma reta em uma escala logarítmica. A regra dos 72, divulgada pela autoridade americana dos mercados, diz que a 9% ao ano o capital dobra em cerca de 8 anos. Em 2020, John Burn-Murdoch, do Financial Times, popularizou os gráficos logarítmicos da COVID-19 justamente por isso: um ritmo constante é uma reta, e uma desaceleração é uma reta que se curva.

A Figura 3 mostra uma série fictícia que começa em 10 e dobra a cada três dias durante 30 dias, chegando a 10.240. À esquerda, em escala normal, os primeiros vinte dias parecem não ter nada e tudo parece acontecer no fim: é a curva que «explode». À direita, em escala logarítmica, a mesma série é uma reta perfeita, e percebe-se que nada mudou no ritmo — dobrou sempre no mesmo passo. A escala normal mostra o tamanho do problema; a logarítmica mostra o ritmo. Para decidir a tempo, o ritmo é o que conta.

Caso 3 — O estudante e o orçamento de enlace. Peça a um aluno que calcule a potência recebida em um enlace: um transmissor de 1 W, duas antenas com ganho de 100 e de 1.000 vezes, e uma perda de propagação de um para dez quatrilhões (10¹⁶). Pelo caminho dos números «normais», ele multiplica quatro números com muitos zeros e erra uma casa decimal no segundo passo. Pelo caminho dos decibéis, escreve +30 dBm, +20 dB, +30 dB e −160 dB, e soma: −80 dBm, ou seja, dez picowatts. Uma linha. Não é um truque; é a descoberta de que a estrutura do problema — ganhos e perdas que se multiplicam — é a estrutura do logaritmo. Napier, outra vez, poupando trabalho quatro séculos depois.

Em linguagem simples. Uma vitória-régia que dobra de tamanho todos os dias cobre metade do lago na véspera de cobri-lo inteiro. Quem olha para o lago só vê o problema no último dia. Quem olha para o ritmo o vê desde o primeiro.

Daqui sai um método de leitura em cinco passos:

• 1. Ver o eixo. Se as marcas forem 1, 10, 100, 1.000, a escala é logarítmica.
• 2. Contar os saltos. Cada salto de marca a marca é uma multiplicação por dez.
• 3. Ler distâncias como multiplicações. A mesma distância é sempre o mesmo número de vezes.
• 4. Ler retas como ritmos. Uma reta é um crescimento constante; a inclinação é a taxa.
• 5. Voltar aos números. Antes de concluir, converter para valores absolutos: «dez vezes mais» de quanto?

VIII. A advogada e o tesoureiro

Terminada a reunião, a advogada e o tesoureiro ficam para trás, arrumando papéis. Ela pergunta, meio sorrindo: «No tribunal, três decibéis a mais à noite é muito ou pouco?» Ele dá de ombros: «Aprendi logaritmos no 12º ano. Já não me lembro de nada.» Ela ri: «Eu nem isso. Fiz Humanidades.»

Os dois estão descrevendo, sem saber, o percurso escolar português. O logaritmo propriamente dito — definição, regras, função logarítmica — é matéria de Matemática A no 12º ano português, a disciplina dos percursos de Ciências e Tecnologias e de Ciências Socioeconômicas, por onde passam quase todos os futuros economistas e engenheiros. O caderno de tarefas que a Direção-Geral da Educação de Portugal preparou para as turmas-piloto de 2025/2026 já o aplica ao pH e aos decibéis. No percurso de Línguas e Humanidades, de onde vêm muitos futuros juristas, a disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais compara crescimentos lineares, exponenciais e logarítmicos e trata de juros e inflação, mas sem o cálculo de logaritmos. Quem decide sobre ruído, terremotos ou prova estatística pode, portanto, nunca ter trabalhado com uma escala logarítmica.

A Tabela 6 mostra em que ano e em que disciplina se encontra a escala logarítmica no ensino português. Não é uma crítica à escola: é um aviso a quem, anos depois, vai usar esses números para decidir.

O que o tesoureiro precisa lembrar. O economista vive de proporções. Se os preços sobem 10% e depois descem 10%, não voltam ao início: 1,10 × 0,90 = 0,99, perde-se 1%. Em logaritmos, a subida e a descida têm o mesmo tamanho, e é por isso que os economistas medem crescimentos com logaritmos: pequenas diferenças de logaritmos são, quase exatamente, variações percentuais. O fundo de reserva do condomínio, aplicado a 3% ao ano, dobra em cerca de 72 ÷ 3 = 24 anos, pela regra dos 72. Os preços, com 3% de inflação, também. O PIB por habitante vai, entre países, de algumas centenas a mais de cem mil dólares: só em uma régua logarítmica cabem todos no mesmo gráfico sem que os mais pobres desapareçam junto ao zero. E quando um economista diz que a demanda tem «elasticidade −2», está dizendo que, se o preço subir 1%, a demanda cai cerca de 2% — uma relação entre proporções, que nos gráficos se lê como uma reta em escala logarítmica.

O que a advogada precisa saber. O jurista decide com números que outros mediram, e muitos desses números vêm em escalas logarítmicas.

• Ruído. O Regulamento Geral do Ruído português, no artigo 13, fixa o critério de incomodidade: a diferença entre o ruído com e sem a atividade não pode exceder 5 dB(A) de dia, 4 dB(A) no entardecer e 3 dB(A) à noite. Três decibéis é o dobro da energia sonora. O legislador escreveu «o dobro» em decibéis. Quem lê «só mais três» como uma tolerância mínima está lendo mal a lei.
• Ambiente. Os valores-limite de descarga de águas residuais do Decreto-Lei n.º 236/98 português admitem um pH entre 6,0 e 9,0. Parece um intervalo estreito. Entre pH 6 e pH 9 vai uma diferença de acidez de mil vezes.
• Juros sobre juros. O artigo 560 do Código Civil português estabelece que, para os juros vencidos produzirem juros, é necessária convenção posterior ao vencimento ou notificação judicial do devedor; o n.º 2 acrescenta que «só podem ser capitalizados os juros correspondentes ao período mínimo de um ano»; e o n.º 3 afasta essas restrições quando contrariem regras ou usos particulares do comércio. A cautela tem razão de ser: a 10% ao ano durante dez anos, os juros simples somam 100% do capital; os juros compostos o multiplicam por 1,1¹⁰ ≈ 2,59, ou seja, mais 159%. A diferença entre somar e multiplicar é a diferença entre as duas contas.
• Prova pericial. As orientações da Rede Europeia de Institutos de Ciências Forenses (ENFSI, 2015) graduam a força de uma prova pela razão de verossimilhança: de 10 a 100, apoio moderado; de 100 a 1.000, moderadamente forte; de 1.000 a 10.000, forte; de 10.000 a um milhão, muito forte; acima de um milhão, extremamente forte. Cada degrau verbal é uma multiplicação por dez, ou mais. «Forte» e «muito forte» não são dois adjetivos próximos: podem estar separados por um fator de cem.
• Fraude. A lei de Benford — o algarismo 1 aparece como primeiro algarismo em cerca de 30% dos números reais — é usada como indício em auditoria fiscal e contábil. É um indício, não uma prova, e tem limites conhecidos: Nigrini, uma das referências da área, lembrou em 2020 que ela não serve para provar fraude eleitoral quando as seções eleitorais têm tamanhos semelhantes.
• Multas. O Regulamento Geral sobre a Proteção de Dados europeu, no artigo 83, admite multas de até 10 milhões de euros ou 2% do faturamento anual mundial (n.º 4) e, nas infrações mais graves, de até 20 milhões de euros ou 4% (n.º 5), conforme o montante mais elevado. Entre uma pequena empresa e uma multinacional há quatro a seis ordens de grandeza; o princípio da proporcionalidade é, no fundo, um raciocínio em proporções.

A Tabela 7 reúne, para o economista e para o advogado, as situações em que a escala logarítmica aparece, o que ela pode esconder e a pergunta que convém fazer antes de decidir. É a tabela para levar para o escritório.

Em linguagem simples. Imagine duas contas de poupança. Na primeira, o banco acrescenta todos os anos 100 euros. Na segunda, multiplica o saldo por 1,1. Nos primeiros anos parecem iguais; ao fim de trinta anos, a segunda tem muito mais do que o dobro. A lei do anatocismo, o critério do ruído e a escala da prova pericial existem porque alguém percebeu que somar e multiplicar não são a mesma coisa.

IX. A reunião de condomínio, revisitada

Volto à sala, porque a frase do fundo merece ser levada a sério — é melhor do que parecia.

É verdade: o terremoto de ontem foi «só» de 5,3. Mas repare no que a frase concede sem perceber: ninguém na sala precisou saber o que é um logaritmo para sentir o prédio tremer, e esse terremoto liberou cerca de sessenta vezes mais energia do que o de 4,1 do inverno. Os ouvidos dos vizinhos também não precisaram de tabelas de Napier para perceber que o bar fazia dez vezes mais ruído do que devia. O corpo mediu bem; quem mediu mal foi a leitura.

A escala logarítmica não pede opinião. Funciona, como os imaginários do polvo, independentemente da fé de quem a lê. O que se pede a quem decide — o síndico do condomínio, a advogada, o tesoureiro, o fiscal municipal, o jornalista, o engenheiro, o juiz — é uma pergunta só, feita antes de qualquer conclusão: esta régua soma ou multiplica?

Na próxima reunião, a advogada já não tomará notas em silêncio. Quando o proprietário do bar disser «só mais dez», ela responderá, sem levantar a voz: «Dez decibéis, senhor. Dez vezes.» E o tesoureiro acrescentará, da planilha: «E à noite, três já é o dobro.»

Uma régua normal pergunta quanto. Uma régua logarítmica pergunta quantas vezes. As boas decisões precisam das duas perguntas.

Menos centímetros. Mais proporções.

Em linguagem simples. Da próxima vez que ouvir «subiu um grau», pergunte: um grau de quê? Em um termômetro, é pouco. Em um terremoto, é trinta e duas vezes. Na acidez, é dez vezes. A pergunta certa é sempre a mesma: esta régua soma ou multiplica?

Gaspar do Amaral

Ilustrações e tabelas: © Aprecisa.com, com recurso a IA.

Nota metodológica

O que é esta página. Adaptação, para o português do Brasil, do artigo que o autor publicou no LinkedIn em 10 de outubro de 2026; a versão integral em português de Portugal está neste site. A capa, os dois quadros de fórmulas, as três figuras e as sete tabelas são as imagens originais, com os textos em português de Portugal; as legendas reproduzem o seu conteúdo. Os expoentes e índices (10³, log₂) que a versão do LinkedIn tinha perdido foram repostos. As referências anotadas seguem a ordem do original: A. Ponto de partida (1–3); B. Literatura científica e institucional (4–36); C. Escola, direito e economia (37–46); D. Casos reais e notícias (47–78). No grupo D, a descrição de cada fonte passa para a anotação. Segue a nota metodológica do autor.

Tudo o que neste ensaio não é dado publicado, mas cálculo ou construção do autor, está identificado abaixo.

1. Terremotos. Razão de energia = 10^{1,5 × ΔM} e razão de amplitude = 10^ΔM (USGS). Sines 5,3 e Alenquer 4,1: ΔM = 1,2, energia 10^1,8 ≈ 63, amplitude 10^1,2 ≈ 16. Kamchatka 8,8 e Mianmar 7,7: ΔM = 1,1, energia 10^1,65 ≈ 45. Revisão de 8,0 para 8,8: 10^1,2 ≈ 16.

2. Ruído. Razão de energia = 10^ΔL/10. 65 − 55 = 10 dB → 10; 85 − 55 = 30 dB → 1.000; 87 − 80 = 7 dB → 10^0,7 ≈ 5; +3 dB → 10^0,3 ≈ 2.

3. pH. Razão de acidez = 10^ΔpH. 8,2 − 8,1 = 0,1 → 10^0,1 ≈ 1,26, ou +26%. O valor de «cerca de 30%» da NOAA corresponde a uma descida ligeiramente superior a 0,1.

4. Estrelas. Razão de brilho = 10^{−0,4 × Δm}. Betelgeuse de +0,5 para +1,6: Δm = 1,1 → 10^−0,44 ≈ 0,36, ou seja, perdeu cerca de 64% do brilho. 100^1/5 ≈ 2,512.

5. Música. Semitom = 2^1/12 ≈ 1,059.

6. Transistores. 58,2 × 10⁹ ÷ 2.308 ≈ 2,5 × 10⁷; log₂ ≈ 24,6 duplicações em 50 anos, ou uma duplicação a cada 2,03 anos, valor coincidente com o publicado.

7. Condomínio. 65 ÷ 55 ≈ 1,18, ou seja, «18% acima» se a escala fosse normal; em energia, 10^{(65 − 55)/10} = 10.

8. Caso 3, orçamento de enlace. 1 W = +30 dBm; ganho ×100 = +20 dB; ganho ×1.000 = +30 dB; perda ×10⁻¹⁶ = −160 dB. Soma: 30 + 20 + 30 − 160 = −80 dBm = 10⁻⁸ mW = 10⁻¹¹ W = 10 pW. Valores escolhidos pelo autor para ilustrar o método, não de um enlace real.

9. Capítulo VIII. 1,10 × 0,90 = 0,99. Regra dos 72: 72 ÷ 3 = 24 anos (o valor exato é ln 2 ÷ ln 1,03 ≈ 23,4). Juros simples a 10% durante 10 anos: 10 × 10% = 100%; compostos: 1,1¹⁰ ≈ 2,594. pH 6 a 9: 10^{9 − 6} = 1.000. Critério de incomodidade: 10^3/10 ≈ 2,0; 10^5/10 ≈ 3,2. Os valores do PIB por habitante e o exemplo de elasticidade são ilustrativos.

10. Telecomunicações. 70 km × 0,18 dB/km = 12,6 dB → 10^−1,26 ≈ 0,055, ou 5,5%. 6.000 km × 0,18 dB/km = 1.080 dB. −30 − (−90) = 60 dB → 10⁶. Dobrar a distância no espaço livre: 20 × log₁₀(2) ≈ 6,02 dB. Shannon com 30 dB: log₂(1 + 1.000) ≈ 9,97 bit/s/Hz; dobrar S/N acrescenta log₂(2) = 1 bit/s/Hz, aproximadamente, para relações sinal-ruído elevadas.

11. Lei de Benford (Tabela 2). P(d) = log₁₀(1 + 1/d): P(1) ≈ 30,1%, P(9) ≈ 4,6%.

12. Figura 1. Construída pelo autor com seis preços redondos e ilustrativos (1 € a 100.000 €), escolhidos para formarem uma progressão de razão 10. Não são preços de mercado.

13. Figura 2. Construída pelo autor com os limites do Regulamento Geral do Ruído (Decreto-Lei n.º 9/2007, art. 11) e da Diretiva 2003/10/CE. A energia relativa é 10^{(L − 55)/10}.

14. Figura 3. Série fictícia construída pelo autor: N(t) = 10 × 2^t/3, com t em dias, de 0 a 30. Não representa dados reais de nenhuma epidemia.

15. Capa. Desenho do autor: régua logarítmica de 1 a 10.000 com as multiplicações por dez entre marcas, uma série que cresce por multiplicação e aparece como reta, e três fórmulas do texto.

Referências

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Gaspar do Amaral · Original em português de Portugal de 10 de outubro de 2026, publicado neste site; adaptação emitida em 27 de outubro de 2026 · Figuras e tabelas © Aprecisa.com · Com recurso a IA